二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -二次根式的学问点汇总学问点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必需留意：由于负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式；例 1．以下式子， 哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2 、3 3 、1 、xx （ x>0）、0 、 4 2 、- 2 、 1 、x yx y （x≥0， y.≥0）．分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“ ”；其次，被开方数是正数或 0．学问点二：取值范畴1、 二次根式有意义的条件： 由二次根式的意义可知， 当 a≧0 时， 有意义， 是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可；2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没有意义；例 2．当 x 是多少时， 3 x 1 在实数范畴内有意义？例 3．当 x 是多少时，2x 3+ 1 在实数范畴内有意义？x 1学问点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ）；注：由于二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -数的算术平方根的性质， 和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多， 如如 ，就 a=0,b=0；如 ，就 a=0,b=0 ；如 ，就 a=0,b=0；例 4〔1〕已知 y=2 x + x2 +5，求x 的值． 〔2〕如ya 1 + b1 =0，求 a2004+b2004 的值学问点四：二次根式（ ） 的性质 1（ ） 文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如 ，就 ，如： ， .例 1 运算1．（3 ）2 2．（ 325 ） 2 3．（5 ）2 4．（67 ）22例 2 在实数范畴内分解以下因式 :（1）x2-3 （2）x4-4 〔3〕 2x2-3学问点五：二次根式的性质 2文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简 时，肯定要弄明白被开方数的底数 a 是正数仍是负数， 如是正数或 0，就等于 a 本身，即 ；如 a 是负数，就等于 a 的相反数 -a, 即 ； 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、 中的 a 的取值范畴可以是任意实数，即不论 a 取何值， 肯定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再依据肯定值的意义来进行化简；例 1 化简（1） 9（ 2）〔 4〕2（3） 25（ 4）〔 3〕2例 2 填空：当 a≥ 0 时，问题．a2 = ；当 a<0 时，a2 = ， .并依据这一性质回答以下（ 1）如是什么数？a2 =a，就 a 可以是什么数？（ 2）如a2 =-a，就 a 是什么数？ （3）a2 >a，就 a例 3 当 x>2，化简〔x 2〕2 -〔1 2 x〕 2 ．学问点六： 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在 中 ，而 中 a 可以是正实数， 0，负实数；但 与 都是非负数，即 ， ；因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数， 即 时， = ； 时， 无意义，而 .学问点七：二次根式的乘除1 、 乘法 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0） 反过来： ab = a · b （a≥0，b≥0）2、除法a ab = b （a≥0，b>0） 反过来，a ab = b （a≥0，b>0）（摸索： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，由于 b 在分母，所以不能为 0） 例 1．运算 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）4 5 × 71（2） × 93（ 3） 9 × 271（4） × 62例 2 化简（1） 9 16（2）16 81（3）9x2 y2（ 4） 54例 3．判定以下各式是否正确，不正确的请予以改正：（1） 〔 4〕 〔 9〕 4 9（2） 4 12 ×251225 =4× 25 ×1225 =4 25 ×25 =412 =8 312 3 1 1 1 64例 4．运算：（1） （ 2） （3） （4）3 2 8 4 16 8例 5． 化简：3（1）64（2）64b29a2（3）9 x64y2（ 4）5x 169y29 x 9 xx2 5x 4例 6．已知 ，且 x 为偶数，求（ 1+x） 2的值．x 6 x 6 x 13、最简二次根式应满意的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方； 因数或因式间是乘积的关系， 当被开方数是整式时要先判定是否能够分解因式，然后再观看各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数），如是就说明含有能开方的因式，就不满意条件，就不是最简二次根式）例 1．把以下二次根式化为最简二次根式 〔1〕3 5 ; 〔2〕12x2 y4x4 y2; 〔3〕8x2 y34、化简最简二次根式的方法： 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -(1) 把被开方数 〔或根号下的代数式 〕化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号） ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数 〔或因式 〕开出来．（此步需要特殊留意的是： 开到根号外的时候要带肯定值，留意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：① 与 ； ② 与 ；③ 与 ； ④ 与 ．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式；判定是否是同类二次根式时 务必 将各个根式都化为最简二次根式；如8 与 18学问点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并；（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变） ，不能合并的直接抄下来；例 1．运算（ 1）8 + 18（2）16 x +64 x例 2．运算（1）348 -91 +3 123（ 2）（48 +20 ）+（12 - 5 ）例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 x39x +y2x ）-（ x2y31x -5xyx ）的值．2、二次根式的混合运算：先运算括号内，再乘方（开方） ，再乘除，再加减 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、二次根式的比较： （1）如 ，就有 ；（ 2）如 ，就有 ．（ 3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例 4．比较 312 与 45 的大小【典型例题】1、 概念与性质例 1、以下各式1 , 2〕 5,3〕 x2 2, 4〕 4,5〕 〔 1〕2 ,6〕 1 a ,7〕 a2 2a 11） 5 3 ，其中是二次根式的是 （填序号）．例 2、求以下二次根式中字母的取值范畴x 5（1）13 x ；（ 2）〔x -2〕 2例 3、 在根式 1〕a2 b2 ;2〕x ;3〕 x25xy;4〕 27abc ，最简二次根式是（ ）A．1〕 2〕 B．3〕 4〕 C． 1〕 3〕 D． 1〕 4〕y例 4、已知：1 8x8x 11,求代数式 x y 22 y xx y 2的值； y x例 5、已知数 a，b，如〔a b〕2=b－a，就 〔 〕 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -A. a>b B. a