2023年第章条件概率与独立事件.doc

§2　独立性检验2．1　条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1　条件概率阅读教材P17～P18部分，完成下列问题．1．概念已知事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．2．公式当P(B)＞0时，P(A|B)＝.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B包含(2,4)一个基本事件，故P(A)＝，P(AB)＝.所以P(B|A)＝＝.【答案】　B教材整理2　相互独立事件阅读教材P19“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．2．性质如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．3．如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为(　　)A． B．C． D．【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小组合作型],条件概率　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】　解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝求概率．【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(AB)＝＝.(2)P(B|A)＝＝＝.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝.[再练一题]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)A．　　　　　 B．C． D．【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.【答案】　D,事件独立性的判断　判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法：(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．[再练一题]2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．【答案】　(1)A　(2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．【提示】　记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则，也是相互独立的，则P(C)＝P( )＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？【提示】　记D＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P( )＝1－0.2＝0.8.　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： 【导学号：67720193】(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．【精彩点拨】　→→【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(B)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.法二　1－P( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P(AB)时注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A，B是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P()＝1－P(A)来运算．[再练一题]3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．【解】　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)两个人都破译不出密码的概率为P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝.(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P(AB)＝1－＝.(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P( )＝1－＝.[构建·体系]1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】　由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.【答案】　C2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)A．1－a－b B．1－abC．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)【解析】　∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a)(1－b)．【答案】　C3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于________.【解析】　P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.【答案】　4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】　P＝1－＝.【答案】　5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.停车一次即为事件BC＋AC＋AB，故概率为P＝××＋××＋××＝.我还有这些不足：(1) ___________________________________(2) ___________________________________我的课下提升方案：(1) ___________________________________(2) ________________。