中考数学教学指导：避开分类讨论的几种策略.doc

避开分类师抡的几种策略初中数学中，由于分类讨论对思维的严谨性要求较高，学生经常会考虑不全，导致失 误.本文结合初中所学知识，介绍几种回避分类讨论的策略.一、数形结合例1方程卜-|2兀+1卜3的不同的解的个数是()(A) 0 (B) 1 (C)2 (D)3解析本题若进行分类讨论，则比较复杂.实际上，原方程可化为：(1) X— |2x+1| =3,或(2)%— |2x+1| =—3.由(1)得 |2x + l|=x—3,由图1可知，此方程无解.由⑵得|2兀+1|二无+3,由图2可知，有两解.故选C.启迪 “数无形，少直观，形无数，难入微”.本题把问题的数量特征结合图形进行分图1 图2二、正难则反例2如果二次函数y=mx2+(7n—3)x +1的图像与兀轴的交点至少有一个在原点的右侧， 试求m的収值范围.解析 本题若从正面求解，必须要对两交点情况进行分类讨论.而若从反面考虑问题则 比较简单.先考虑两个交点都在原点左侧时加的取值范围，则由一元二次方程mx2+(m~3)兀+1二0 有两负根，得0 = (m - 3)2 一 4m > 0,Ho,丄>0.m > 9或加< L即 < m < 0或加> 0,m > 0.取其补集得,m<9,且必须满足ANO与加HO.故二次函数图像与x轴的交点至少有一 个在原点右侧，皿的范围为加W1且加H0.启迪 有些问题直接分类讨论较为复杂时，可根据“正难则反”的原则，进行逆向思考, 从而寻找解题思路，冋避分类讨论.三、运用化归例3方程?-3|x|-2=0的最小一根的负倒数是()(A) -1(B) -(3+V17)2(C) -(3-V17)2(D) -(V17-3)4解析 V |x|2 =x2,・・・原方程可化为|x|2-3|x|-2=0.解之得|此二丄(3+历)，兀产丄(3 —后)(舍去).2 2兀］=—(3+ J17 ),22H的负倒数为丄(V17-3),故应选D.4启迪 对于要求讨论的问题，切忌不加思考就急于求解，而应洞察问题的本质特征，删 繁就简，以回避不必要的讨论.四、变更主元例4当1 WxW2吋，不等式mx~2<3x + 4恒成立，试求实数加的取值范围.解析 将不等式变形为以加为主元的不等式加兀<3兀+ 6.•・• 10W2,3x4-6 6 l一亠亠・°・ m< =3+ — 成乂.X X易知 6W3— W9,x由极端性原理知m<6.启迪 当含参变量的问题直接求解困难时，变换参变量与主变量的位置，往往可以回避 分类讨论.五、整体入手例5 a, b, c是常数实数,兀，y,是任意实数.设A=(a~b) x + (b~c) y + (c~a), B=(b-c)x + (c-a)y + (a-b)f C=(c~a)x + (a~b)y + (Z?-c),求证：A、B、C不能同时为正数或 同时为负数.解析 整体入手，易知A+B+C二0,而A、B、C均为实数，便知A、B、C不能同吋为 正数或同时为负数.启迪 先观察题目的特征，用整体的观点认识问题，从整体结构出发，另辟蹊径.六、隐含条件例6如图3,已知A3是OO的弦，OB=2, Z5=30° , C是弦4B上的任意一点(不与 点A、B重合)，连结CO并延长CO交O0于点Q,连接AD⑴，⑵略.(3)当AC的长度为多少时，以4、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角 形相似？请写出解答过程.解析 以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似.如果展开讨论 会有多种情形，但是如果能够从图形中抓住隐含条件乙BCO是DAC的一个外角，则ZBCO>ZA, ZBCO>ZD,而ZB CO与Z儿Z£>, A DCA中的一个相等，那么只剩一种情形乙BCO=ZDCA,从 而推出/\DACs 'BOC.・.・ ZBCO=90° ,即 OCLAB,・・・ AC=-AB=y/3 .2启迪 隐含条件对解题的影响较大，起着暗示作用.遇到问题切忌急于求解，应仔细分 析题意，充分利用隐含条件，以回避不必要的分类讨论.七、运用函数例7某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：人种产品B种产品成本(万元/件)0.60.9利润(万元/件)0.20.4若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪儿种生产 方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？解析 设生产A产品x件，则生产B产品(50—劝件.根据题意，可推出三种方案： ① 甲17件，乙33件；②甲18件，乙32件；③甲19件，乙31件.设利润为W,则W=0. 2x 4- 0. 4(5—x)=20_0. 2x.故可得方案一获利最大，最大利润为16. 6万元.启迪 在解答某些数学问题时，有时用函数的观点直达主题，可避开讨论和各种复杂计 算，顺利解决最大值或最小值.八、运用法则解析g . H . c;—+ h —\a\ b c/• a、b、c中有一个为负数,・・四—, cibc启迪 运用的数学定理、公式、或运算性质、法则对所求的式子进行简化，从而避免分 类讨论.九、语言转换例9用长度分别为1, 2, 4, 5, 6的5根细木棒围成-个三角形，能够得到的三角形 最大面积为多少？解析 三角形周长一定时，边长相等，面积最大，那么求“三角形最大面积值”可等价 为求“围成的三角形为正三角形”，从而避开分类讨论.本题周长为18,面积最大时边长为6,面积为9乔.启迪 加强对概念的认识与理解，熟悉其变换的表达形式，领悟“条件和结论”中的文 字语言的提示作用，从而避开讨论，优化解题.近年来，在各地中考试题中涉及分类讨论的问题十分常见，在解决此类问题时，因考 虑不周全导致失分的较多.分类讨论要讲究策略，有的讨论不可避免，但有的讨论可以弱化 或回避，这就需要同学们积累经验，优化思维与方法，解决好此类问题.。