函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期.ppt

第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第三节　函数的奇偶性与周期性第三节　函数的奇偶性与周期性第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1．．函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定定义义如果如果对对于函数于函数f(x)的定的定义义域内的任意一个域内的任意一个x都有都有_________________，，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数都有都有_______________，，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数图图象象特点特点关于关于_______对对称称关于关于_________对对称称f(－－x)＝－＝－f(x)f(－－x)＝＝f(x)原点原点y轴轴第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质(1)奇奇函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的两两个个区区间间上上有有______的的单单调调性性；；偶偶函数在关于原点函数在关于原点对对称的两个区称的两个区间间上有上有_______的的单调单调性．性．(2)如如果果奇奇函函数数f(x)在在原原点点有有意意义义，，则则f(0)＝＝____；；如如果果函函数数f(x)既是奇函数又是偶函数，既是奇函数又是偶函数，则则有有____________.3．．周期函数周期函数（（1））若若f(x)对对于于定定义义域域中中任任意意x均均有有 _____________(T为为不不等等于于0的常数的常数)，，则则f(x)为为周期函数．周期函数．若若T是是函函数数y＝＝f(x)的的一一个个周周期期，，则则nT(n∈ ∈Z，，且且n≠0)也也是是f(x)的的周期．周期．相同相同相反相反0f(x)＝＝0f(x＋＋T)＝＝f(x)第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1．．奇奇函函数数、、偶偶函函数数的的定定义义域域具具有有什什么么特特点点？？它它是是函函数数具具有有奇奇偶偶性性的什么条件？的什么条件？【【提示提示】】　　定义域关于原点对称，必要不充分条件．定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．．(1)若若y＝＝f(x＋＋a)是是偶偶函函数数，，函函数数y＝＝f(x)的的图图象象有有什什么么对对称称性性？？(2)如果如果y＝＝f(x＋＋b)是奇函数，函数是奇函数，函数f(x)的的图图象有什么象有什么对对称性？称性？【【提示提示】】　　(1)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x＝＝a对称；对称；(2)f(x)的图象关于点的图象关于点(b,0)中心对称．中心对称． 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用(2012·河河源源质质检检)已已知知函函数数f(x)是是(－－∞，，＋＋∞)上上的的偶偶函函数数，，若若对对于于x≥0，，都都有有f(x＋＋2)＝＝－－f(x)，，且且当当x∈ ∈[0,2)时时，，f(x)＝＝log2(x＋＋1)，则，则f(－－2 011)＋＋f(2 012)的值为的值为(　　　　)A．－．－2　　　　　　B．－．－1　　　　　　C．．1　　　　　　D．．2【【思思路路点点拨拨】】　　当当x≥0时时，，f(x＋＋2)＝＝－－f(x)，，可可得得f(x＋＋4)＝＝f(x)，，函数具有周期性，从而利用题设条件可求．函数具有周期性，从而利用题设条件可求．函数的周期性函数的周期性 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用【【尝试解答尝试解答】】　　∵∵f(x)是偶函数，是偶函数，∴∴f(－－2 011)＝＝f(2 011)，，当当x≥0时，时，f(x＋＋2)＝－＝－f(x)，，∴∴f(x＋＋4)＝＝f(x)，则，则4是是f(x)(x≥0)的一个周期，的一个周期，∴∴f(2 012)＝＝f(0)，，f(2 011)＝＝f(3)＝－＝－f(1)，，又当又当x∈ ∈[0,2)时，时，f(x)＝＝log2(x＋＋1)，，因此因此f(－－2 011)＋＋f(2 012)＝＝f(0)－－f(1)＝＝log21－－log22＝－＝－1.【【答案答案】】　　B 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用函数性质的综合应用函数性质的综合应用 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用函函数数f(x)的的定定义义域域为为D＝＝{x|x≠0}，，且且满满足足对对于于任任意意x1，，x2∈ ∈D，，有有f(x1·x2)＝＝f(x1)＋＋f(x2)．．(1)求求f(1)的的值值；；(2)判断判断f(x)的奇偶性并的奇偶性并证证明你的明你的结论结论；； (3)如果如果f(4)＝＝1，，f(x－－1)＜＜2，且，且f(x)在在(0，＋，＋∞)上是增函数，求上是增函数，求x的取的取值值范范围围．．第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用【【尝试解答尝试解答】】　　(1)∵ ∵对于任意对于任意x1，，x2∈ ∈D，有，有f(x1·x2)＝＝f(x1)＋＋f(x2)，，∴∴令令x1＝＝x2＝＝1，得，得f(1)＝＝2f(1)，，∴∴f(1)＝＝0.第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1．．本本题题易易出出现现不不知知如如何何脱脱掉掉“f”，，原原因因是是不不理理解解“f”的的含含义义，，或或没没能能掌掌握握偶偶函函数数的的性性质质f(|x|)＝＝f(x)，，导导致致繁繁杂杂讨讨论论，，思维受阻．思维受阻．2．．(1)偶偶函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的区区间间上上单单调调性性相相反反，，奇奇函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的区区间间上上单单调调性性相相同同．．(2)①f(x)为为偶偶函函数数⇔⇔f(x)＝＝f(|x|)；；②若奇函数若奇函数f(x)在在x＝＝0时有定义，则时有定义，则f(0)＝＝0.第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用从从2011年的高考年的高考试题试题看，有看，有7省市考省市考查查函数奇偶性、周期函数奇偶性、周期性．多以性．多以选择题选择题和填空和填空题题的形式出的形式出现现．主要考．主要考查查奇偶性的判定，奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数利用奇偶性与周期性求函数值值，与，与单调单调性交性交汇汇求解求解简单简单的方程的方程与不等式，求解与不等式，求解这类问题务这类问题务必要注意必要注意转转化思想的灵活化思想的灵活应应用．用．第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用思想方法之一　转化思想在函数奇偶性中的应用思想方法之一　转化思想在函数奇偶性中的应用 (2010·课课标标全全国国卷卷)设设偶偶函函数数f(x)满满足足f(x)＝＝x3－－8(x≥0)，，则则{x|f(x－－2)＞＞0}＝＝(　　　　)A．．{x|x＜－＜－2或或x＞＞4}　　　　　　　　B．．{x|x＜＜0或或x＞＞4}C．．{x|x＜＜0或或x＞＞6} D．．{x|x＜－＜－2或或x＞＞2}【【解析解析】】　　当当x≥0时，时，f(x)＝＝x3－－8，，∵∵f(x)在在x∈ ∈[0，＋，＋∞)上是增函数，且上是增函数，且f(2)＝＝0，，∴∴f(x－－2)＞＞f(2)，，(*)又又f(x)是偶函数，是偶函数，由由(*)得得f(|x－－2|)＞＞f(2)⇔⇔|x－－2|＞＞2.解之得解之得x＞＞4或或x＜＜0.选选B.【【答案答案】】　　B第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用易易错错提提示示：：(1)将将f(x－－2)盲盲目目代代入入解解析析式式f(x)＝＝x3－－8，，忽忽视定义域的限制，无解而终．视定义域的限制，无解而终．(2)挖挖掘掘不不出出题题目目的的隐隐含含条条件件，，f(2)＝＝0以以及及f(x)在在[0，，＋＋∞)上的单调性，不能由单调性脱掉上的单调性，不能由单调性脱掉“f”；；(3)不能运用偶函数的性质不能运用偶函数的性质f(|x|)＝＝f(x)，简化运算．，简化运算．防防范范措措施施：：(1)注注意意到到f(x)＝＝x3－－8(x≥0)，，f(2)＝＝0，，将将f(x－－2)＞＞0转转化化为为f(x－－2)＞＞f(2)，，为为利利用用函函数数的的单单调调性性，，把把函函数数值值的的大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件．大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件．(2)注注意意到到f(x－－2)可可由由f(x)的的图图象象向向右右平平移移得得到到，，数数形形结结合合可由可由f(x)＞＞0的解集的解集{x|x＞＞2或或x＜－＜－2}，得，得f(x－－2)＞＞0的解．的解．。