离散频谱校正技术.doc

三、离散频谱校正技术经FFT得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差从理论上分析，加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4％，即使加其它窗时，也不能完全消除此影响，如加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%，相位误差更大，高达90度目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱能量重心校正法，第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法，第三种方法是FFT+DFT谱连续细化分析傅立叶变换法，第四种方法是相位差法，这些方法各有其特点在相位差校正法中，有时移法、缩短窗长法和综合法1．比值校正法图3.1.1 窗函数的频谱函数这种方法利用频率归一化后差值为1的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出校正频率，进而进行幅值和相位校正解方程求校正频率的方法是多样化的，直接导出公式的方法称比值公式法，利用迭代求解的方法称为比值迭代公式法，用搜索求解的方法称比值峰值搜索法研究表明，加Hanning窗的比例校正法精度非常高，频率误差小于0.0001，幅值误差小于万分之一，相位误差小于1度1）频率校正频率校正即求出主瓣中心的横坐标。

设窗函数的频谱函数为，对称于轴，见图3.1.1对于任一，窗谱函数为，离散频谱为；对于任一，窗谱函数为，离散频谱为，构造v为间隔为1的两点、的比值函数，由、、和就能求出由于f(x)的函数表达式为已知，故可构造一函数 (3.1.1)v是间隔为1的两点的比值，是x的函数，对上式解出其反函数： (3.1.2)即求解谱线校正量，这种方法称为比值公式法校正频率为： (3.1.3)式中，为谱线号，为分析点数，为采样频率2）幅值校正设窗函数的频谱模函数为，主瓣函数为： (3.1.4)这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A为真实幅值，对应主瓣中心，现将，代入式(3.1.4)得： (3.1.5)式中，故可解出A值： (3.1.6)（3）相位校正谱分析所用窗函数都不是对称于轴的，都要向右平移点，其频谱函数相对于轴来说有一个相移因子，相移角为： (3.1.7)这表明窗函数的相位是线性的(图2.3.2)信号频谱函数与窗函数的频谱函数作复卷积时是复数相乘，相位角相加由图5.2.3可以看出，频率误差为半个谱线间隔时，相位误差将达到，这说明FFT的实部与虚部所得到的相位如果不加校正则完全是不能用的。

由频率校正得到谱线校正量后，相位校正量为： (3.1.8)当实部为，虚部为时，真实相位角为 (3.1.9)窗函数都具有相同的相位校正公式4）几种典型窗函数的比值校正a. 矩形窗的比例公式校正方法矩形窗的定义为： (3.1.10)其频谱函数为： (3.1.11)的取值范围为[-1,+1]区间，当，，所以存在下列简化条件： (3.1.12)由以上简化条件，将归一化频率，带入(3.1.11)，同时用替换得其频谱模函数为： (3.1.13)根据式(3.1.10)和式(3.1.13)构造如下的修正比例函数： (3.1.14)由上式可以求出频率修正量： (3.1.15)式(3.1.14)也可以直接变为： (3.1.16)上式表明，在式(3.1.13)所代表的曲线上任取两点、，当时，两点都在主瓣内，就相当于谱线抽样的情形，见图3.1.2，于是可得矩形窗的重心定理：幅值谱主瓣内两条相邻谱线的重心为主瓣中心，对应的频率为信号的准确频率图3.1.2 矩形窗的重心定理将式(3.1.15)代入式(3.1.6)，可得矩形窗的幅值校正公式： (3.1.17)由式(3.1.9)可知矩形窗的相位角，当N很大时，，故仍可用式(3.1.8)和式(3.1.9)进行相位校正。

b. 哈宁(Hanning)窗的比例公式校正方法哈宁窗的定义为： (3.1.18)其频谱函数为： (3.1.19)式中，将归一化频率和式(3.1.12)的简化条件代入式(3.1.19)，并用替换得其频谱模函数为： (3.1.20)式(3.1.20)中，当时，；当时，，其图形如图3.1.3所示，主瓣宽度为4个谱线间隔，(-2，+2)区间为主瓣图3.1.3 Hanning窗的频谱函数令，则式(3.1.20)可写为：将上式代入式(3.1.1)构造如下修正函数： (3.1.21)由于哈宁(Hanning)窗，则，上式右边第二项为1，这时有： (3.1.22)解出的反函数 (3.1.23)这就是哈宁窗的频率校正函数式(3.1.22)也可写成： (3.1.24)图3.1.4 Hanning窗的重心定理这表明哈宁窗的主瓣函数式(3.1.20)，有如下性质：在曲线上任取两点、，当两点x坐标差为1时，将左边点左移一格，右边点右移一格，这时两点的重心在坐标原点，见图3.1.4图中的和点重心在坐标原点，对应到幅值谱中则重心处的频率为信号真实频率，这可称为哈宁窗的重心定理。

将式(3.1.23)代入式(3.1.6)，可得哈宁窗幅值校正公式： (3.1.25)相位校正同矩形窗5) 仿真计算用计算机产生式(3.1.35)的函数，采样频率为1024Hz，作1024点FFT后，频率间隔为1Hz，单边幅值谱的准确幅值为1，这样便于观察校正误差分析结果及校正结果见表图3.1.5、图3.1.6 (3.1.35)当频率间隔较远时，如本例中383.4Hz这个频率成分，采用哪种窗的校正精度都很高，频率和幅值的误差在0.2％以内，相位误差也较小当两频率越靠近，校正精度越差，本例中143.2和163.4Hz这两个频率相隔20条谱线，频率和幅值的校正误差略有增大，不加窗时已超过0.5％，但加窗后的误差仍在1％以下从理论分析，当两个频率的间隔过小，由于主瓣重叠，此方法根本不适用图3.1.6 校正频谱图3.1.5 未校正频谱2.能量重心校正法(1) 常用窗函数的能量特性以下以Hanning窗为例，研究频谱分析中窗函数的能量特性Hanning窗的定义为： (3.2.1)其频谱模函数为：图3.2.1 Hanning窗功率谱模函数 (3.2.2)令功率谱函数，则有： (3.2.3)如图3.2.1所示。

对任意一确定值x，满足下式： (5.3.1)证： (3.2.5)图3.2.2 Hanning窗谱频率校正显然，当时，成立5.3.1)式表明，Hanning窗离散频谱的能量重心无穷逼近坐标原点由于Hanning窗旁瓣的功率谱值很小，根据其能量重心的特性，若令范围内，就可以用主瓣内功率谱值较大的几条谱线精确地求得主瓣的中心坐标对于矩形窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗等常用的窗函数而言，当足够大时，离散窗谱的能量重心都在原点附近，其数学证明繁琐，在此省去推导过程2) 能量重心法校正频率、幅值和相位的原理设图3.2.2中的Hanning窗频谱主瓣模函数的平方为： (3.2.6)相当于式(3.2.3)乘以系数并平移到处，和分别为分析信号的频率和幅值，Y0为主瓣内谱线最大值根据Hanning窗的能量重心特性有： (3.2.7)化简上式有： (3.2.8)根据式(3.2.8)就可求得主瓣的中心： (3.2.9)式(3.2.9)就是加Hanning窗时单谐波信号谱分析的频率精确校正公式设采样频率为，作谱点数为，主瓣内峰值的谱线号为，为功率谱第条谱线值，为主瓣中心，由式(3.2.9)就能得到能量校正法校正频率的通用公式： (3.2.10)对幅值的校正，由帕斯瓦定理知，就是主瓣峰值处功率谱的理论值(应考虑窗函数的能量恢复系数，取1时即为三点卷积幅值校正)，因此很容易求得信号的校正幅值，设能量恢复系数为，则校正后的幅值为： (3.2.11)由式(3.2.10)知，设归一化频率的校正量为，则有： (3.2.12)根据对称窗函数相位特点，频率校正量为时，相位的校正量应为： (3.2.13)设信号FFT的实部为，虚部为，则校正后的相位为： (3.2.14)以上就是Hanning窗的频率、幅值和相位的校正。

在实际应用中，不可能取无穷大，由于Hanning窗的旁瓣衰减很快，仿真研究表明，当取1时，其频率校正就能达到很高的精度如果要得到更高的校正精度，可根据实际情况，适当增加的值根据对称窗函数离散频谱的能量重心特性，数值计算表明，以上校正公式同样适用于其它窗，只是精度不同，选择的点数不同 (3) 常用窗函数能量重心校正法误差分析 a.矩形窗在频谱分析中，矩形窗的定义为： (3.2.15)其功率谱模函数为[5]： (3.2.16)根据公式(3.2.2)，当取1，时，可以求得能量重心校正法对频率校正的绝对误差： (3.2.17)能量重心校正法对幅值校正的绝对误差： 图3.2.3 矩形窗谱频率校正绝对误差图3.2.4 Hanning窗谱频率校正绝对误差由于矩形窗的旁瓣衰减很慢，当取1或2时，能量重心法对矩形窗谱的频率校正绝对误差仍然很大，如图3.2.3所示 b.Hanning窗Hanning窗功率谱模函数如图3.2.1所示，其旁瓣衰减很快，能量主要集中在主瓣内，因此能量重心法的校正精度很高图3.2.4是当取1和取2时，对频率校正的绝对误差曲线。

4) 仿真实例用计算机生成如式(3.2.20)的信号，采样频率为1024Hz，作谱点数为1024，频率间隔(频率分辨率)为1Hz，选用Hanning窗 (3.2.18)图3.2.6是加Hanning窗 (三点卷积)时频谱的校正前后谱图对比，从图表中可以得出以下结论：图3.2.6频谱能量重心法校正结果(Hanning窗,n=1)a. 对间隔较远的频率成分，如本例中的5.2Hz和256.3Hz，谱的能量重心法对频率、幅值和相位的校正精度很高，与误差理论曲线相符合b. 由于能量重心法是采用功率谱曲线校正，突出了主瓣内幅值大点的影响，相对而言对负频率成分的抗干扰能力强，本例中频率为5.2Hz的信号证明了这一点c. 当两个频率越靠近，由于旁瓣的干涉，校正精度降低，本例中123.4Hz与128.2Hz这两个频率相隔4.8条谱线，使123.4Hz的信号校正误差增大从理论上分析，当两个频率的间隔小于4个频率分辨率时，由于主瓣重叠，此方法的校正精度将明显降低由于能量重心法是采用功率谱曲线校正，突出了主瓣内幅值大点的影响，两个频率靠近时的校正精度比比值法高d. 参与校正点数越多，对单频率成分的校正精度越高，但要求相邻两个谱峰的频率间隔越大。

如把本例中的第二个频率成分123.4Hz变为125.2Hz，与128.2Hz。