2022年数学物理方法复习资料.pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思复变函数期末复习提要第 7章：残数及其应用⒈理解残数的定义；⒉熟练掌握计算残数的方法；⒊理解残数基本定理，熟练掌握用残数理论计算积分定义 7. 1 设)(a为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：az，若)(zf在az0上解析，则称czzf)d(iπ21为)(zf在点a的残数（或留数），记作),(Resaf或)(Res a，即czzfaf)d(iπ21),(Res（7. 1）例 1 设)1(25)(zzzzf，求)0,(Res f．解法 1 由（ 7. 1）式得41d) 1(25iπ21)0,(Reszzzzzf41dz125iπ21zzzz0)125(zzz2注意：这里的积分路径的半径并非只能取41，只须使半径小于1 即可满足定义7. 1 的条件．解法 2 因点0z为)(zf的孤立奇点，所以，在310:)31,0(*zN内有zzzzf1)1(25)(0)52(nnzz032nnzz由此得21c，依（ 7. 2）式得2)0,(Res f．解法 3 因点0z为)(zf的一级极点，所以，依（7. 3）式得)1(25lim)0,(Res0zzzzfz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2解法 4 因点0z为)1(25)(zzzzf的一级极点，所以，由（7. 4）式得0}] )1([25{)0,(Reszzzzf2定义 7. 2设z为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：z，若)(zf在zR内解析)(R，则称czzf)d(iπ21为函数)(zf在点z的残数（或留数），记作),(Res f或)(Res，即czzff)d(iπ21),(Res（7. 6）例 2 设zzzfe)1()(2，求),(Res f．解取圆周2: zc，由（ 7. 6）式得czzzfde1iπ21),(Res2czzzde1iπ2120定理 7. 1 设区域G是由围线c的内部构成（如图），若函数)(zf在G内除含有限个奇点naaa,,,21外解析，且在cGG上除点naaa,,,21外连续，则njjcafzzf1),(R esiπ2)d(（7. 8）例 3计算积分1,d12i212azazzz．解首先， 弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．由122azz求出被积函数的奇点有121aaz与122aaz因1a，所以，12z，又因121zz，故11z，即在积分路径内部只有被积函数的a1 ?c1 a2 ?c2 a3 ?c3 an?cnGc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一个奇点1z．其次，经检验，由（7. 8）式得),12i2(Resiπ2d12i21212zazzzazzz]))((i2)[(limiπ22111zzzzzzzz1π22a残数在计算某些实积分上的应用njjzzQzPxxQxP1),)()((Resiπ2d)()(（7. 10）例 4 计算积分xxxxd1242．解经验证，此积分可用（7. 10）式计算．首先，求出1)()(242zzzzQzP在上半平面的全部奇点．令0124zz即22424) 12(1zzzzz222)1(zz) 1)(1(22zzzz0于是，)()(zQzP在上半平面的全部奇点只有两个：i2321与i2321且知道，与均为)()(zQzP的一级极点．其次，算残数，有))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31最后，将所得残数代入（7. 10）式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思)],)()((Res),)()((Res[ iπ2d1242zQzPzQzPxxxx3πnjjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()((R esiπ2de)()((7. 11) 例 5 计算积分0,de22iaxaxx．解 经验证，该积分可用（7. 11）式计算．首先，求出辅助函数22ie)(azzfz在上半平面的全部奇点．由022az解得iaz与iaz为)(zf的奇点，而0a，所以，)(zf在上半平面只有一个奇点ia， 且ia为)(zf的一级极点．其次，计算残数．有) i)(i(e) i(lim) i,e(Resii22iazazazaazzazzi2eaa最后，由（ 7. 11）式得) i,e(Resiπ2de22i22iaazxaxzxaaeπ基于例 7. 12，由（ 7. 12）与（ 7. 13）式容易得到aaxaxxeπdcos22与0dsin22xaxxttttttxxxd12)12,11(Rad)sin,(cosRa2222π20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页。