初中数学竞赛精品标准教程及练习（54）整数解一、内容提要1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.2. 求整数解常用的性质、法则：①.数的运.算性质：整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数,整数÷（这个整数的约数）＝整数.②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）. ④.用列举法.3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.二、例题例1.求下列方程的正整数解： ① xy+x+y=5； ② x2+y2＝1991.解：①先写成关于x的方程， （y+1）x=5－y. x=.当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数. ∵－1＋＞0， 且x>0, y>0, ∴ 11, x+1>1.∴ 或 解得 ；或.②要等式成立，x, y必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b－1 (a,b都是正整数).左边x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1. ∴a, b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.∴等式永远不能成立. ∴原方程没有正整数解.例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为x，根据题意，得 (a,b 都是正整数).(2)－(1)：b2－a2=91 . (b+a)(b－a)=91， ∵91=1×91=7×13 且b+a>b－a.∴ 或 解得，； 或.由方程(1)知 a>, 由方程(2)知 b>.∴只有适合. ∴ x=a2－38=1987. 答(略).如果改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a2－38=9－38=－29.例3. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值是多少？ 解法一：用列举法 与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…与3的差是6的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27，… ∴符合条件的 最小自然数是27.解法二：设所求自然数为x,那么 (a,b都是自然数).∴ x= 5a－3=6b+3, ∴ a= , ∵ a, b都是自然数，∴ b+1是5的倍数， 其最小值是b=4. ∴x=6b+3=27. 例4. m取什么整数值时，方程 mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解？解：设方程两个整数根为x1, x2. 那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理： ∵x1和 x2都是整数，∴m是2的约数， 即m=±1，±2.∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.当m=1时，原方程为x2－x－3=0, 没有整数解；当m=－1 时，原方程为－x2－x－1=0, 没有实数根；当m=2 或m=－2 时，方程有整数解. 答：当m=2或 m=－2时，方程 mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解.例5. 已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求：n的值. 解：设9n2+5n+26＝m(m+1)， m为正整数. m2+m－(9n2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+）2－(3n+)2=26+, (m++3n+)( m+－3n－)=25，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m－9n－1)=230. ∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n..∴； 或 ；或； 或 .解方程组，正整数的值只有 n=2或 n=6.例6. 已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m<60.求：m的整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.△＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1 是完全平方数时，方程有整数解.∵12
