1-2第4课时等比数列的综合应用.doc

第4课时　等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列{an}是等差数列，公差为d;数列{bn}是等比数列，公比为q,求数列{anbn}的前n项和，可以运用错位相减法.方法如下：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,当q=1时，{bn}是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+…+an)= ;当q≠1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+…+bn·(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比数列的前n项和公式Sn= 中，如果令A=，那么Sn= .2.若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn-A(A≠0， q≠0且q≠±1)，则数列{an}是 .3.在等比数列{an}中，Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k (k∈N+) ;(2)当q≠-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k (k∈N+) .［答案］　1. 　Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列　是等比数列思路方法技巧命题方向　等比数列性质的应用［例1］　(1)等比数列{an}，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.［分析］　由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.［解析］　(1)∵a1a18=a9a10,∴a18===20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b24=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七项之积为(32) 3×3=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5·=54×=-1458.解法二：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.［说明］　本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,l∈N+且m+n=k+l，则am·an=ak·al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1　已知{an}是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.［解析］　∵a4·a7=a1·a10,∴a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84,∴ ，或a7=3 a7=81∴q=或q=3.∴a11=3q4=3×（）4=或a11=81×34=6561.命题方向　与前n项和有关的等比数列的性质问题［例2］　各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（　　）A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50［答案］　A［分析］　本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.［解析］　解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q≠±1. =10　　①由 ，=70　　②由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入①有=-10，∴S40==-10×(-15)=150.解法二：易知q≠±1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），∴S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，∵S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150.解法四：易知q≠±1,∵=，∴q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.［说明］　在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q≠-1时，数列Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q≠±1时，=.变式应用2　等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于 .［答案］　30［解析］　∵{an}为等比数列，∴S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓创新命题方向　错位相减法求数列的和［例3］　求数列1，3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和（a≠0）.［分析］　由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1)·an-1,数列的每一项可分成两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.［解析］　当a=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)= =n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)·an-1　　　　①,aSn=a+3a2+5a2+7a4+…+(2n-1)an　　　　　　　　　　　 ②,①-②得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,∴Sn=+.［说明］　一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d;数列{bn}是等比数列，公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.变式应用3　求数列{n·2n}的前n项和Sn.［解析］　∵Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n　　　　①2Sn=1·22+2·23+…+（n-1）·2n+n·2n+1　　　　　　 ②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,∴Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答［例4］　若数列{an}的前n项和为Sn=an-1（a≠0），则数列{an}是（　　）A.等比数列 B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列 D.可能是等比数列，但不可能是等差数列［误解］　A　由Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，则有=a-1(常数)，故选A.［辨析］　错误的原因在于：当a=1时，an=0，{an}是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an≠0而造成的.［正解］　C　由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当a=1时，an=0,数列{an}为等差数列；当a≠1时，=a-1,(不为零的常数)，则数列{an}为等比数列，故选C.课堂巩固训练一、选择题1.（2011·辽宁文，5）若等比数列{an}满足anan+1＝16n，则公比为（　　）A.2 B.4 C.8 D.16［答案］　B［解析］　本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.∵an·an+1=16n,∴an-1·an=16n-1∴==q2==16∴q=4.2.在各项为正数的等比数列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是（　　）A.1061 B.1023 C.1024 D.268［答案］　B［解析］　由题意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,∴=q3=64,∴q=4,∴a1=3,∴a1+a2+a3+a4+a5==1023.3.在等比数列｛an｝中，a1=1,公比|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5，则m=（　　）A.9 B.10 C.11 D.12［答案］　C［解析］　∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又∵am=a1qm-1=qm-1,∴qm-1=q10,∴m-1=10,∴m=11.二、填空题4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+1+r,则r的值为 .［答案］　-2［解析］　解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又∵{an}为等比数列，∴a22=a1a3,∴16=8(4+r),∴r=-2.解法二：∵Sn=2n+1+r=2·2n+r,∴数列{an}为等比数列，∴Sn=A·qn-A=2·2n+r,∴r=-2.5.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为 .［答案］　-2［解析］　∵Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，∴2Sn=Sn+1+Sn+2∴(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,∴an+1+an+1+an+2=0,∴2an+1=-an+2,∴=-2,∴q=-2.三、解答题6.（2011·重庆文，16）设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn.［分析］　（1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式.（2）甲分组求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得Sn.［解析］　（1）设等比数列{an}的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，∴q=2∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n（2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1∴Sn=+n×1+×2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.［点评］　此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.课后强化作业一、选择题1.已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为（　　）A.3n-1 B.3(3n-1) C. (9n-1) D. (9n-1)［答案］　D［解析］　∵a2=6,q=9,∴Sn′== (9n-1).2.(2010·辽宁文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=（　　）A.3 B.4 C.5 D.6［答案］　B［解析］　∵3S3=a4-2,3S2=a3-2,∴3S3-3S2=a4-a3,。