经典例题之空间向量与立体几何.doc

word考点一 证明空间点线共面例题1.三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有解：由题意：， ∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理与其推论的充要条件进展向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将条件进展转化运算．例题2. 如图，矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．考点二 证明空间线面平行与垂直例题3.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，〔I〕求证：AC⊥BC1；〔II〕求证：AC 1//平面CDB1；分析：〔1〕证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；〔2〕证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：〔I〕直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；〔II〕设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如此C〔0,0，0〕，A〔3,0，0〕，C1〔0,0，4〕，B〔0,4，0〕，B1〔0,4，4〕，D〔，2,0〕〔1〕∵＝〔－3,0，0〕，＝〔0，－4,0〕，∴•＝0，∴AC⊥BC1.〔2〕设CB1与C1B的交战为E，如此E〔0,2，2〕.∵＝〔－，0,2〕，＝〔－3,0，4〕，∴，∴DE∥AC1.点评：转化转化平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义与判定定理和性质定理．例题4.在棱长为2的正方体的中点，P为BB1的中点. 〔I〕求证：； 〔II〕求证； 〔III〕求异面直线所成角的大小.分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等根底知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解法一：〔I〕连结BC1由正方体的性质得BC1是BD1在平面BCC1B1内的射影，，所以(II)又， 〔III〕延长由于正方体的棱长为2，即异面直线所成角的大小为arccos.解法二：〔I〕如图建立空间直角坐标系.如此B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，B1〔2，2，2〕，D1〔0，0，2〕. ………………3分 〔II〕，. 〔III〕，即异面直线所成角的大小为arccso点评：考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算〞的有机统一.解题时注意各种角的X围：异面直线所成角的X围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的X围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理与其逆定理；③垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.例题5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=. 〔1〕求直线A1C与D1C1所成角的正切值； 〔2〕段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小.分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办解法一：〔I〕为异面直线AC与D1C所成的角连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2， 〔II〕过Q作EF〔在平面AC内〕使EF//AB，连B1C、CF、DF，〔面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC〕即为二面角A1—DC—Q的平面角.~.，即所求二面角大小为30°解法二：〔I〕同解法一〔I〕 〔II〕建立空间直角坐标系，即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为点评：此题主要考查异面直线所成的角、线面角与二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例题6.正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 〔1〕求证：； 〔2〕求二面角的大小〔用反三角函数表示〕； 〔3〕求点到平面的距离。

分析：此题涉与立体几何线面关系的有关知识, 此题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比拟好的方法.解答：〔1〕证明：建立如下列图， ∵∴即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD〔2〕设面DA1B的法向量为由 ∴取设面AA1B的法向量为 由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos〔3〕，平面A1BD的法向量取如此B1到平面A1BD的距离d=点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,此题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比拟简单,此外用向量也是一种比拟好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比拟好写出来.考点四 探索性问题例题7. (2007某某·文)如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．〔I〕求证：平面平面；〔II〕试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．解法1：〔Ⅰ〕，是等腰三角形，又是的中点，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕 过点在平面内作于，如此由〔Ⅰ〕知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．依题意，所以在中，；在中，，．，．故当时，直线与平面所成的角为．解法2：〔Ⅰ〕以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如下列图的空间直角坐标系，如此，于是，，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．〔Ⅱ〕设平面的一个法向量为，如此由．得可取，又，于是，即，．故交时，直线与平面所成的角为．解法3：〔Ⅰ〕以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如下列图的空间直角坐标系，如此，，于是，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕设平面的一个法向量为，如此由，得可取，又，于是，即．故交时，即直线与平面所成角为．考点五 折叠、展开问题例题8．〔2006年某某高考〕正方形、分别是、的中点,将沿折起,如下列图,记二面角的大小为(I) 证明平面;(II)假如为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值分析:充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解析: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB//FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形BF//ED.,平面(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GDACD为正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,如此,所以为二面角A-DE-C的平面角 即.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,. 在RtADE中,.,点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。

考点六球体与多面体的组合问题例题9．设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，如此r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.点评：涉与球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心与多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和外表积间的关系一、 方法总结1．位置关系：〔1〕两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90º；证明两条异面直线的方向量相互垂直〔2〕直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

〔3〕直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行〔4〕平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直2．求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离〔1〕两条异面直线的距离求法：利用公式〔其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量〕〔2〕点到平面的距离求法：“一找二证三求〞，三步都必须要清楚地写出来等体积法向量法，利用公式〔其中A为点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量〕3．求角〔1〕两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得X围是，向量所成的角X围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角〔2〕直线和平面所成的角求法：“一找二证三求〞，三步都必须要清楚地写出来。

向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或〔3〕平面与平面所成的角求法：“一找二证三求〞，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求通过射影面积来求〔在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射。