1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)[学习目标] 1.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．怎样求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以Asin＝Asin(ωx＋φ)，即f＝f(x)，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.[预习导引] 正弦函数的图象和性质函数y＝sin x图象定义域(－∞，＋∞)或R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期最小正周期：2π单调性在上递增；在上递减，其中k∈Z最值x＝＋2kπ 时，ymax＝1(k∈Z)；x＝－＋2kπ 时，ymin＝－1(k∈Z)对称性对称中心：(kπ，0)，对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)要点一 求函数的单调区间例1 求函数y＝2sin的单调递增区间．解 y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝2sin的递增区间为(k∈Z)．规律方法 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1＋2sin；(2)y＝logsin x.解 (1)y＝1＋2sin＝1－2sin.令u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，即2kπ＋≤u≤2kπ＋π(k∈Z)，亦即2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．亦即2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin的单调递增区间是2kπ＋π，2kπ＋π(k∈Z)．(2)由sin x>0，得2kπsin.(2)sin 196＝sin(180＋16)＝－sin 16，cos 156＝cos(180－24)＝－cos 24＝－sin 66，∵0<16<66<90，∴sin 16－sin 66，即sin 196>cos 156.规律方法 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 980.解 (1)sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin ，∵y＝sin x在上是增函数，∴sinsin 60，∴－sin 60>－sin 80，即cos 870>sin 980.要点三 正弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y＝3－2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f(x)＝2sin2 x＋2sin x－，x∈的值域．解 (1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为.当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.(2)令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－＝22－1，∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.规律方法 (1)形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y＝asin2 x＋bsin x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x的有界性．跟踪演练3 求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵＋＝，∴cos＝cos＝cos＝sin.从而原式就是y＝2sin，这个函数的最小正周期为，即T＝.当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．当x＝＋(k∈Z)时，ymax＝2；当x＝－＋(k∈Z)时，ymin＝－2.1．函数y＝2sin x的单调增区间是( )A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)B．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)C．[2kπ－π，2kπ](k∈Z)D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)答案 A解析 函数y＝2x为增函数，因此求函数y＝2sin x的单调增区间即求函数y＝sin x的单调增区间2．函数y＝sin，x∈的值域是( )A. B.C. D.答案 B解析 ∵0≤x≤，∴≤x＋≤.∴sin ≤sin≤sin ，∴－≤y≤.故选B.3．下列不等式中成立的是( )A．sin>sin B．sin 3>sin 2C．sin π>sin D．sin 2>cos 1答案 D解析 ∵sin 2＝sin，cos 1＝sin，且(π－2)－＝－1>0，∴>π－2>－1>0，∴sin(π－2)>sin ，即sin 2>cos 1.4．求函数y＝f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域．解 设t＝sin x，则|t|≤1，f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.开口向上，对称轴t＝2不在研究区间[－1,1]内．g(t)在[－1,1]上是单调递减的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－41＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]． 1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．。
