2003考研数一真题及解析.docx

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1) lim(cosx)ln0n .. Incosx而 lim — = hmf + r) e-s i DC]_2故原式混=土【详解2】因为lim(cosx-1) — = limio ln(l + x ) E x1 ,-x~2所以 原式2【评注】本题属常规题型（2 ） 曲面z = x2+y2与平面2x + 4），— z = 0平行的切平面的方程是【分析】待求平面的法矢量为亓={2,4,-1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方程，而切点坐标可根据曲面z = / +;/切平面的法矢量与亓=（2,4-1）平行确定.【详解】令F（x,^z） = z-x2-/,贝ijF"2x, F；=—2y, F： = \.设切点坐标为（Xo，%,Zo）,则切平面的法矢量为{-2工0，-2光,1},其与己知平面jxe^nydy-ye^nxdx=jj （e* + e~^x）dxdyD=Jj>n、dxdy+ J"-如 XdxdyD D=jj>nXdxdy+ JJ e-'n Xdxdy （利用轮换对称性）D D= \\（eiinx +e^nx）dxdy>^2dxdy= 2?.D D【评注】木题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的.另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0

W2 = [ ' kxclx = —（Xj -X]2） = — （x； - a2）.2 2由= rW｝可得9 9 2x^-ar = ra即 对=（1 +尸）/.= j' tetr = —（x； -^2） = —[xj -（1 + r）a2].由 W, = rW2 =r2W｝可得对 一（1 + 枷2 = r2a2,从而即汽锤击打3次后，可将桩打进地下J1 +尸+尸2〃〃7.(2)由归纳法，设xM = Vl + r + r2 +•••+rn_,6/,则呢有=p" kxdx =§($]_£)=9 如-(l + r + - +，f 勺.由于叱土 =广叱=尸2叱| =...=尸可，故得即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下m.【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单七、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(-co,+oo)内具有二阶导数，且# 0,工=x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程-4 + (y + sinx)(—)3 =0变换为y=y(x)满足的微dy dy分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) = 0, y'(0) = |的解.【分析】将竺转化为空比较简单，—= = 关键是应注意：dy dx dy dy_ y'lxd2x _ d dx d 1 dxdy1 dy dy dx yf dy-yyf2 y然后再代入原方程化简即可.dx |【详解】（1）由反函数的求导公式知 ? = 土，于是有dy yd2x d dx J I dx - y'（y）3芬=石成)；(亍).部二亍7代入原微分方程得y" - y = sin x.（2）方程（*）所对应的齐次方程/-y = 0的通解为Y = C.ex +C2e~x.设方程（*）的特解为y * = A cosx + B sin x，代入方程(*),求得A = 0,B = --，故/ =--sinx,从而/->' = sinx的通解是), = ¥ +)「= C]" + C2e~x -:sin x.3由），（o）=（）,y（o）= 5,得g=i，g=T・故所求初值问题的解为y = ex - e x - — sin x2【评注】本题的核心是第一步方程变换。

八、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零，JJI '*2 + y2 + 22 )dv JJ f(x2 + y2 )do印)= __；__； ，G(Z)= ,+ j f(x2)dxd(o t其中Q(f) = ((x,y,z)|x2 + ▽ +z2 0时，F（t）>-G（t）.兀【分析】（1）先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数F'（的符号确定单调性；（2）将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】（1）因为F«)=『姻；”4")产sin冲=2打(产)山.£ d0^ f(r2 )rdr £/(r2 )rdr矿(心竺挡g[£/(r2)nZr]2所以在((),+00)上F0)>(),故F(t)在(0,+oo)内单调增加.(2)因2 ?要证明 t>o 时 F(r)>-G(r),只需证明 t>o 时，F(i) 一一G(r) > 0,即71 71£ f(r2)r2Jr£ f(r2Wr-[£f(r2)rdr]2 >0.g")=£f (产)以汗,g\t) = f(t2^f(r2)(t-r)2dr> 0 ,故 g(t)在(0,+oo)内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).又 g(0)=0,故当 t>0 时，g(t)>0,2因此,当 t>o 时，F(r)>-G(r).7t【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明(2)中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：l，W(x)g(x)d对 <^ f~(x)dx- J：g2(工以“在上式中取f(x)为Jj,(尸2),,g(x)为J7不即可•_3 2 2"0 1 O'设矩阵A =2 3 2，P =1 0 12 2 30 0 1九、(本题满分10分),求B+2E的特征值与特征向量，其中A'为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.【分析】可先求出ALP-',进而确定B=P^P及B+2E,再按通常方法确定其特征值和特征向昂:；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向剧,最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法一：经计算可得_ 5-2 -2_01 -A* =-25-29P'}=10 0-2-2 500 11*—■ 700 _B = P]AtP =-25-4•-2 --23从而_ 9 0 0 _B + 2E= -2 7-4,_-2 -2 5 _2-9 0 0|/IE-(B + 2E)|= 2 2-7 4 = (2-9)2(A-3),2 2 人一5故B+2E的特征值为& = % = 9,人=3.解(9E-A)x = 0,得线性无关的特征向量为所以属于特征值九=% =9的所有特征向量为其中灯瓦是不全为零的任意常数.当々=3时，解(36 —人)工=0,得线性无关的特征向量为_0_所以属于特征值石=3的所有特征向量为如必=幻1，其中幻=0为任意常数.1方法二：设A的特征值为n 对应特征向量为〃，即A. = " 由于|A|=7壬0,所以膈0.又因A^A = \A[E,故有A*〃 =检〃.A于是有 B(P，) = P-,A*P(P-,T7)=，(P-版),A(B + 2E)pT〃 =(检 + 2)p-w.因此，检+ 2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P-*AA-3-2-2-22-3-2-2-22-3=a-i)2a-7),由于|亦_4| =故A的特征值为佑=% = 1,% = 7.-1-1当4=%= 1时，对应的线性无关特征向量可取为彷=1，% =001当石=7时，对应的一个特征向量为％ =~0 1 -「■ 1 ■■-1'0'由P' =1 0 0,得 p-'w =-1'P =-1'P =10 0 1011因此，B+2E的三个特征值分别为9, 9, 3.对应于特征值9的全部特征向量为佑P ‘％ +¥ "=,其中k'K是不全为零的任意常数;对应于特征值3的全部特征向量为0右P-，3=*3 1，其中*3是不为零的任意常数•1【评注】设B=P^AP,若/I是A的特征值，对应特征向量为〃，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值4的特征向量为Pf本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。

不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十、（本题满分8分）己知平面上三条不同直线的方程分别为/, : ax+ 2by+3c = 0,试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 /，+ c = 0.【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯-解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线/,,/2,/3交于一点，则线性方程组ax+ 2by = 一 3c,-bx+ Icy = -3a,cx+ lay = -3b,ci有唯一解，故系数矩阵。