第四章,再练一课(范围：4.3.2).docx

第四章,再练一课(范围：4.3.2) 　再练一课( 范围：4.3.2) 　1．计算：lg 2－lg 15 －eln 2 等于( 　) A．－1 　B. 12 　 C．3 　D．－5 答案 A 解析 lg 2－lg 15 －eln 2 ＝lg 215－2＝－1. 2．下列计算正确的是( 　) A．(a 3 ) 2 ＝a 9 　B．log 2 6－log 2 3＝1 C．12a-12a ＝0 　 D．log 3 (－4) 2 ＝2log 3 (－4) 答案 B 解析 由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a 3 ) 2 ＝a 6 ，12a-12a ＝a 0 ＝1，所以 A，C 不正确； 由对数的运算性质，可得 log 2 6－log 2 3＝log 2 63 ＝log 2 2＝1，所以 B 是正确的； 对于 D 中，根据对数的化简，可得 log 3 (－4) 2 ＝2log 3 4，而 log 3 (－4)是无意义的． 3．若 3 a ＝2，则 log 3 8－2log 3 6 用含 a 的代数式可表示为( 　) A．a－2 　 B．3a－(1＋a) 2 　C．5a－2 　 D．3a－a 2 　答案 A 解析 由 3 a ＝2 得 a＝log 3 2， 所以 log 3 8－2log 3 6＝log 3 2 3 －2log 3 (23) ＝3log 3 2－2(log 3 2＋log 3 3)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 4.238125- - ＋log 34273－log 2 9log 3 2 等于( 　) A．－10 　B．－8 　C．2 　D．4 答案 D 解析 238125- - ＋log 34273－log 2 9log 3 2 　＝23325- - ＋343log 3 －1－log 2 3 2 log 3 2 ＝ 254＋ 34 －3＝4. 5．若 log 5 13 log 3 6log 6 x＝2，则 x 等于( 　) A．9 　B. 19 　 C．25 　D.125 　答案 D 解析 由换底公式，得 －lg 3lg 5lg 6lg 3 lg xlg 6 ＝2， lg x＝－2lg 5，x＝5－ 2 ＝ 125 . 6．238 - +log 3 27＋2lg 5＋lg 4＋7log 27 ＝________. 答案 32 　解析 238 - ＋log 3 27＋2lg 5＋lg 4＋7log 27 　＝－ ()2332 ＋323log 3 ＋2lg 5＋2lg 2＋7log 27 　＝－4＋ 32 ＋2＋2＝32 . 7．方程 log 2 (4 x －5)＝2＋log 2 (2 x －2)的解 x＝________. 答案 log 2 3 解析 ∵log 2 (4 x －5)＝2＋log 2 (2 x －2)， 4 x －5＝4(2 x －2)，即(2 x ) 2 －42 x ＋3＝0， 2 x ＝1 或 2 x ＝3；又 4 x －50，2 x －20，2 x ＝3，x＝log 2 3. 8．记 A＝123100，那么1log 2 A ＋1log 3 A ＋1log 4 A ＋＋1log 100 A ＝________. 答案 1 解析 1log 2 A ＋1log 3 A ＋1log 4 A ＋＋1log 100 A 　＝log A 2＋log A 3＋log A 4＋＋log A 100 ＝log A (234100)＝1. 9．化简与求值： 　(1)log 3 27＋lg1100 ＋ln e＋21 log 32 - + ； 　(2)13127- - ＋(log 3 16) log 2 19. 解 (1)log 3 27＋lg1100 ＋ln e＋21 log 32 - + 　＝log 3 3 3 ＋lg 10－ 2 ＋12lne ＋ 12 2log 32 　＝3log 3 3－lg 10 2 ＋ 12 ＋12 3 ＝3－2＋ 12 ＋32 ＝3. (2) 13127- - ＋(log 3 16) log 2 19 ＝13313 - - ＋ lg 16lg 3lg 19lg 2 　＝ － 13－ 1 ＋ 4lg 2lg 3 －2lg 3lg 2 ＝－3－8＝－11. 10．(1)若 log 3 7log 2 9log 49 a＝log 4 12 ，求 a 的值； (2)若 xlog 2 3＝1，求 3 x ＋9－ x的值． 解 (1)由已知得 lg 7lg 3 2lg 3lg 2lg a2lg 7 ＝－lg 22lg 2， 所以 lg a＝－ 12 lg 2＝lg22，所以 a＝22. (2)方法一 因为 xlog 2 3＝1， 所以 x＝1log 2 3 ＝lg 2lg 3 ＝log 3 2， 所以 3 x ＋9－ x ＝3log 23 ＋3log 29 - 　＝3log 23 ＋ ()3log 223-＝3log 23 ＋ ()32log 23- ＝2＋ 14 ＝94 . 方法二 因为 xlog 2 3＝1，所以 log 2 3 x ＝1， 所以 3 x ＝2， 所以 3 x ＋9－ x ＝3 x ＋(3 x ) － 2 ＝2＋2 － 2 　＝2＋ 14 ＝94 . 　 11．log 5 ( 6＋1)＋log 2 ( 2－1)＝a，则 log 5 ( 6－1)＋log 2 ( 2＋1)等于( 　) A．1－a 　B. 1a 　 C．a－1 　D．－a 答案 A 解析 ∵( 6＋1)( 6－1)＝6－1＝5， ( 2－1)( 2＋1)＝2－1＝1， 6－1＝56＋1 ＝5( 6＋1)－ 1 ， 2＋1＝12－1 ＝( 2－1)－ 1 ； 又 log 5 ( 6＋1)＋log 2 ( 2－1)＝a， log 5 ( 6－1)＋log 2 ( 2＋1)＝log 5 [5( 6＋1)－ 1 ]＋log2 ( 2－1)－ 1 ＝1－log5 ( 6＋1)－log 2 ( 2－1)＝1－a. 12．(多选)设 a，b，c 都是正数，且 4 a ＝6 b ＝9 c ，那么( 　) A．ab＋bc＝2ac 　 B．ab＋bc＝ac C. 2c ＝2a ＋1b 　D. 1c ＝2b －1a 　答案 AD 解析 由题意，设 4 a ＝6 b ＝9 c ＝k(k0)， 则 a＝log 4 k，b＝log 6 k，c＝log 9 k， 对于选项 A，由 ab＋bc＝2ac，可得 bc ＋ba ＝2， 因为 bc ＋ba ＝log 6 klog 9 k ＋log 6 klog 4 k ＝log k 9log k 6 ＋log k 4log k 6 　＝log 6 9＋log 6 4＝log 6 36＝2，故 A 正确，B 错误； 对于选项 C， 2a ＋1b ＝2log 4 k ＋1log 6 k 　＝2log k 4＋log k 6＝log k 96， 2c ＝2log 9 k ＝2log k 9＝log k 81， 故 2c 2a ＋1b ，即 C 错误； 对于选项 D， 2b －1a ＝2log 6 k －1log 4 k 　＝2log k 6－log k 4＝log k 9， 1c ＝1log 9 k ＝log k 9， 　故 1c ＝2b －1a ，即 D 正确． 13．已知 ab1，若 log a b＋log b a＝ 52 ，ab ＝b a ，则 a，b 的值分别为( 　) A．a＝5，b＝2 　 B．a＝4，b＝2 C．a＝8，b＝4 　 D．a＝2，b＝ 2 答案 B 解析 设 t＝log a b，则 log b a＝ 1t ，b＝at ， 所以 t＋ 1t ＝52 ，解得 t＝2 或 t＝12 ， 因为 a b ＝b a ，所以 a b ＝a at ，即 b＝at， 因为 ab1，所以 b＝ 12 a，代入 ab ＝b a 得： 　2aa ＝ a2a a＝4， 所以 b＝2. 14．已知 a0，b0，ab＝8，则 log 2 alog 2 (2b)的最大值是________． 答案 4 解析 因为 a0，b0，ab＝8， 则 log 2 alog 2 (2b)＝(log 2 8－log 2 b)(1＋log 2 b) ＝(3－log 2 b)(1＋log 2 b)＝3＋2log 2 b－(log 2 b) 2 　＝4－(1－log 2 b) 2 4. 当且仅当 b＝2 时，函数取得最大值 4. 　15．设实数 a，b，c 满足 a1，b1，c1，且 abc＝10，a lg a b lg b c lg c 10，则 a＋b＋c＝________. 答案 12 解析 因为 a1，b1，c1，且 abc＝10， 所以 0lg a1,0lg b1,0lg c1， 所以(lg a) 2 lg a，(lg b) 2 lg b，(lg c) 2 lg c， 即(lg a) 2 ＋(lg b) 2 ＋(lg c) 2 lg a＋lg b＋lg c； 又 a lg a b lg b c lg c 10， 所以 lg(a lg a b lg b c lg c )lg 10＝1， 即(lg a) 2 ＋(lg b) 2 ＋(lg c) 2 1＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c， 所以(lg a) 2 ＝lg a，(lg b) 2 ＝lg b，(lg c) 2 ＝lg c， 　则 a＝10 或 1，b＝10 或 1，c＝10 或 1， 不妨令 a＝10，则 b＝c＝1， 因此 a＋b＋c＝12. 16．(1)设正数 a，b，c 满足 a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 求证：log 2 1＋ b＋ca＋log 2 1＋ a－cb＝1； (2)已知 2 y log y 4－2 y－ 1 ＝0， logx 5xlog 5 x＝－1，试问是否存在一个正数 P，使得 P＝1x －y. (1)证明 由于 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ， 所以 log 2 1＋ b＋ca＋log 2 1＋ a－cb ＝log 2 1＋ b＋ca 1＋ a－cb ＝log 2 (a＋b＋c)(a＋b－c)ab ＝log 2 (a＋b)2 －c 2ab＝log 2 a2 ＋b 2 －c 2 ＋2abab ＝log 2 2＝1. (2)解 由 2 y log y 4－2 y－ 1 ＝0， 得 2 y log y 4－ 12＝0， log y 4＝ 12 ，即 y＝16. 由 log x 5xlog 5 x＝－1， 得 log x 5x＝－1log 5 x ， 即 log x 5x＝－log x 50. 12 (log x 5＋1)＝(log x 5)2 ， 整理得 2(log x 5) 2 －log x 5－1＝0， 解得 log x 5＝－ 12 (log x 5＝1 舍去)，1x ＝25. 从而 P＝1x －y＝25－16＝3， 即存在一个正数 P＝3，使得 P＝1x －y成立． 。