2021届浙教版中考一轮复习《二次函数》知识梳理及自主测试.doc

第12讲　二次函数考纲要求命题趋势1．理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.　　二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等根底知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.一、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的三种种形式：(1)一般形式：y＝ax2＋bx+c；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h,k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)二、二次函数的图象及性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象(a＞0)(a＜0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x＝－直线x＝－顶点坐标增减性当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小最值当x＝－时，y有最小值当x＝－时，y有最大值三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，那么图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式确实定1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．假设条件是图象上三个点的坐标，那么设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将条件代入，求出a，b，c的值．2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．假设二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，那么设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．假设二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，那么设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，那么x1＋x2＝，x1·x2＝.1．以下二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是(　　)A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－32．如下图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2－4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有(　　)A．2个 B．3个 C．4个 D．1个3．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a〔x+m〕2+k的形式　 　．4．将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，那么平移后的抛物线的解析式为 　．5．直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A〔﹣1，1〕和B〔4，2〕两点，如图，那么关于x的不等式kx+b＞ax2+bx+c的解集是　 　．6．关于x的函数y=〔2m﹣1〕x2+3x+m图象与坐标轴只有2个公共点，那么m=　 　．7．实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，那么x+y的最大值为　　．8.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是〔，〕；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有　 　．〔只需填写序号〕9.如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？10．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A〔1，〕；点F〔0，1〕在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕点P是〔1〕中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；〔3〕当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．答案1．　C　2．　D　3．　y=2〔x+〕2﹣　4．y＝x2＋15．　﹣1＜x＜4　6．解：根据题意，得①该函数是一次函数，即2m﹣1=0，解，得m=；②该函数和x轴有一个交点，即△=9﹣4m〔2m﹣1〕=﹣8m2+4m+9=0，解，得m=；③该函数是二次函数，与y轴的交点是原点，与x轴有2个交点，即m=0．故答案为．7．　4　解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣〔x+1〕2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．8.　①②④　解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；①当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6〔x﹣〕2+，顶点坐标是〔，〕；此结论正确；②当m＞0时，令y=0，有2mx2+〔1﹣m〕x+〔﹣1﹣m〕=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当m＜0时，y=2mx2+〔1﹣m〕x+〔﹣1﹣m〕 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，=﹣＞，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④当x=1时，y=2mx2+〔1﹣m〕x+〔﹣1﹣m〕=2m+〔1﹣m〕+〔﹣1﹣m〕=0 即对任意m，函数图象都经过点〔1，0〕那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点〔1，0〕，当m≠0时，函数图象经过同一个点〔1，0〕，故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．故答案为：①②④．9.解：〔1〕由题意可得出：y=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴此函数图象的顶点坐标为：〔1，0〕；〔2〕①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=〔x+2〕2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=〔x+2﹣1〕2﹣5+1=〔x+1〕2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=〔x+1〕2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=〔x+〕2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．10．〔1〕解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A〔1，〕代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；〔2〕证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为〔x，x2〕，过点P作PB⊥y轴于点B，那么BF=|x2﹣1|，PB=|x|，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；〔3〕解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为〔2，3〕或〔﹣2，3〕．。