2023年方程的根竞赛典型题.docx

例：x∈R,求410+x+47-x=3的根.解：（换元法）设u=410+x，v=410+x, 则u4+v4=17 ···记为（1）式，u+v=3 ·····记为（2）式因为（u2+v2）2-2u2v2=u4+v4=17即（(u+v)2-2uv）2-2u2v2=u4+v4=17 ····记为（3）式将（2）式代入（3）式中，可得（9-2uv）2-2u2v2=17可解得uv=2或者uv=16（舍去）联立方程uv=2 u+v=3.解得u=1且v=2或者u=2且v=1.当u=1且v=2时，u=410+x=1，解得x=-9；当u=2且v=1时，u=410+x=2，解得x=6.关于不定方程的题目：已知a,b,c是整数，且满足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求a,b,c的值解：a+b=3 ab=-2-c2+2c构造方程x2-3x+(-2-c2+2c)=0 其中a,b为方程的两根∆ =9-4（-2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2)2+13x=3±√∆2 ∆=k2 (2c-2)2+13=k2即k2-(2c-2)2=13 所以(k+2c-2)(k-2c+2)=13k+2c-2=13k-2c+2=1 或 k+2c-2=1k-2c+2=13可得k=7c=4 或 k=7c=-2 x=5或-2 所以a,b,c的值为5，-2，4 或-2,5,4 或 5，-2，-2或 -2,5，-2例：定义在R的实值函数f(x)满足：12fxy+12fxz-fxfyz≥14,x,y,z∈R，求f(x).解： 令x=y=z=0，得12f0+12f0-f(0)2≥14, 即f0-122≤0 ，所以 f0=12，同理令x=y=z=1，得12f1+12f1-f(1)2≥14，即f1=12，令y=z=0，得12f0+12f0-fxf(0)≥14, 即fx≤12,令y=z=1，得12fx+12fx-fxf(1)≥14, 即fx≥12，所以，fx=12，x∈R.例：解方程8+5x7=6x-113解： 令6x-113=nn∈Z 则x=3n+116 则15n+10342=n 故n≤15n+103420，原方程可化为x2-6x-16=10±a若a>10，则原方程等价于x2-6x-16=10+a，可化为x2-6x-16=±10+a，即x2-6x-16±10+a=0，此时原方程只有4个解，不符合题意。

若0

说明;解决此题得关键是确定判别式△的符号，为此将2p+q3，p+2q3进行巧妙地变形，然后运用三元均值不等式使问题获解例：设x1,x2,x3,⋯,x2006是整数，且满足下列条件：①-1≤xn≤2, n=1,2,3,⋯,2006②x1+x2+x3+⋯+x2006=200③x12+x22+x32+⋯+x20062=2006求x13+x23+x33+⋯+x20063的最小值和最大值解：设x1,x2,x3,⋯,x2006注重有r个-1，s个1，t个2，则-r+s+2t=200r+s+4t=2006两式相加，得s+3t=1003因为s≥0，t≥0，所以0≤t≤367，因此x13+x23+x33+⋯+x20063=-r+s+8t=6t=200即200≤x13+x23+x33+⋯+x20063≤6×367+200=2402当t=0时，s=1103，r=903，此时x13+x23+x33+⋯+x20063取最小值200当t=367时，s=2，r=536，此时x13+x23+x33+⋯+x20063取最小值2402 题目：答案：方法代换法 例： 求方程1x+1y-1z=12的整数解，其中x≥3,y≥3,z≥3解：1x+1y=1z+12>12 1 x≤y,则1x+1y≤2x 2由12得：2x>12,得：x<4,故x=3得： x1=3 , y1=3, z1=6 x2=3, y2=4, z2=12 x3=3, y3=5, z3=30例 求方程2x+73=2x-14的实数解 解 令2x-14=k,k为整数，则2x=4k+1,且有k+k+83=k显然k<0,于是0≤k+83<1即 -8≤k<-5得k=-8,-7,-6,从而x=-312,-272.例 求方程5（XY+YZ+ZX）=4XYZ的正整数解。

解：方程两边同除以5XYZ可得 1X + 1Y +1Z = 45不妨设X≤Y≤Z，则1X+ 1Y + 1Z = 45 ≤ 3X 即X≤154，即X的取值范围为1 ≤X≤ 3当X=1时，原式为5（Y+YZ+Z）=4YZ，不符合题意当X=2时，1Y +1Z = 310，同理可得2≤Y≤ 6验证知Y=4,5 从而Z=20,10当X=3时，可知方程无正整数解综上所述，原方程共有12组正整数解：（2,4,20），（2,20,4）（4,2,20），（20,2,4），（4,20,2），（20,4,2），（2,5,10），（5,2,10）（10,2,5），（5,10,2），（10,5,2），（2,10,5）例：若实数x,y满足4x+3y-2xx2+y2x2=0,则xy的值是？解：显然x≠0,原方程化为1+3y2x=yx2.令t=3y2x,则1+t=yx2,所以t∈Z,且yx=23t.得1+t=49t2.从而有1+t≤49t2≤t+2,解得：9-3418

解：因为x3+y3=2×536，而536不是立方数因此x≠y，不妨设y