2021考研数学（一）真题及答案解析.pdf

2021考研数学( 一)真题及答案解析2021考研数学真题及答案解析数学(一)一、选择题( 本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上. )e l 0⑴函数\ 在x = 0处Lx = 0( A)连续且取极大值. ( B)连续且取极小值.( 可导且导数为0. ( D)可导且导数不为0.【 答案】D.( 解析)因为l im / ( 力=l im — = 1 = / ( 0),故f(x)在x = 0处连续；x-M> x-M> *.一1 ] x因为l im" " - f⑹= l im」 ——心二十” 故/ ( 0 ) = [ ，正确答案为D.7 X - 0 7 x- 0 7 X - 2 2( 2)设函数/ ( x ,y )可微，且/ (X + L ，)= X(X + 1)2, f( x ,/ ) = 2./ l iix ,则 /' ( 1,1) 二(A)dx+dy. ( B) d x - d y . (C)dy. ( D) - d y .【 答案】C .[解析】f； (x +1,。

' ) + e ' 4 ( x + 1,/ ) = ( x + l )2+ 2x ( .r + 1) ①，' ( ” , / ) + 2式 (工 ,= 4 x l n x + 2 x ②fx = 0 fx = 1分别将《 八，\ ， 带入①②式有I …b =i工1)+曲,1) = 1 ，曲,1)+ 2力( 1,1)= 2联立可得<' ( U ) = o , £ ( 1,1) = 1 ，#( 1,1) = ZU ,l )^ v + f； (\,Y)dy = dy , 故正确答案为 C .( 3 )设函数/ ( .X )=誓■ 在x = 0处的3次泰勒多项式为ax- ^bx2+ c x \则l + .r7( A) < 7 = 1,6 = 0,c =—.67( C )a = -l ,b = -l ,c =—6【 答案】A.【 解析】根据麦克劳林公式有、 sm .r/㈤=ko ( .vJ) [l -.r2 + o ( .r3)] = . r - - x3 + o ( xJ)6x---- +6故4 = l ,b = 0,c = - 工 ，本题选A.6( 4 )设 函 数 在 区 间［ 0』 上连续，则£/(“ 由二n— »x2〃( C )蟋《 制I ① )醛 闺 ;【 答案】B.【解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将( 0,1)分 成 〃 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则f1 f(x)dx = h m if\ 即选 B.JoI 2〃 )n( 5 )二次型/ & , 毛 ， $ ) = ( 3 + 当 『+ ( 超+ 马＞ 一( 七一演)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( A)2,0. ( B)l ,l . ( C )2,l . ( D)l ,2.【 答案】B.【 解析】/ ( .vpx2,x3) = ( X j 4 -x2)2 + ( x2 + Xy)2 -(x5 - .X j )2 = 2X22 + 2XXX2 + 2X2X3 4-2.XJ.VJQ i r所以4= 1 2 1 ,故特征多项式为」1 0,2 -1 -1\AE- A\= -1 -2 -1 = ( A+ 1)( 2-3 )2-1 -1 A令上式等于零，故特征值为-1, 3 , 0 .故该二次型的正惯性指数为1 ,负惯性指数为1.故应选B.【 答案】A.【 解析】利用斯密特正交化方法知» 记 A = %，Pi = a2~ kB\，kP\ ~ h A，( C )5 1( D) 一一， 一一2 2［ 生， ㈤A =«2 -［ 星闻/ =区 ，［ 耳冉故「麓H ' % =盟!故选人( 7 )设48为〃阶实矩阵，下列不成立的是( A ) r((Ao /Oj } = 2r ⑷. ( B)r([oA A〃B y 卜- ⑷/ 八赳(。

A “B A \卜 " ⑷ 叫(胡A O"\=2 ’ ⑷【 答案】c.【 解析】( A)r( f 7 ] = “/ ) + «T/) = 2r( 4 ).故/ 正确.( O A A)( J j£ff\ " Q \( B)/ 8的列向量可由彳的列线性表示，故/ ° 『 二『0 AT\ = r(A) + r(AT)=2r(A).(C)BA的列向最不一定能由A的列线性表示.( D)A4的行向呈可由/ 的行线性表示，J ： ：)= r( / )+ r( / 7 )= 2r( / )本题选C .( 8 )设4,月为随机M件，且0〈尸( B)v l ,下列命题中不成立的是( A)若尸Q | 8 ) = P Q) ,则尸(4 ] 3 )二尸( 彳).( B)若尸( 川3 ) >尸( 4 )，则尸(7 |方)> 尸( N )( 若P ( A\B ) > P ( A \夕)，则P ( A\B) > P ( A ) .( D)^ P (A \AV)B)>P (A\A\J B), 则 P( 4 )> 尸( 3 ).【 答案】D.【 解析】尸( N | / U 8 ) =尸 ( 心U B))/ Q U 8 )/ ( ⑷尸( / )+ 尸(8 ) -尸( .姐)隔MU8)，( 疝/ U 5 ) ) _ P (AB) _ P (B)- P (AB)P( A U B )尸(/ ) + 尸(8)— 尸(4 5 )因为尸QMU8 ) >尸( i MUB ) ,固有尸(N )>尸(B)—尸(4 5 ) ,故正确答案为D .(9)设 ( 乂 北 ), (乂 $ ), , ( 元 , 匕 )为 来 自 总 体 / / “ "； , 咛 " )的 简 单 随 机 样 本 ，令- 1 " - 1 » 八 - -0 = ^ -^iX = -y X ,iY = -Y YnO = X -Y ,则(A)3是e的无偏估计，£> (© )=， + %(B)。

不是e的无偏估计，D(@=3詈■(O 0是e的无偏估计， @ =红卫产眄(D )不是9的无偏估计，D⑻ =%+ 巧 2的％【 答案】C.【 解析】因为x , y是 ： 维正态分布, 所以刀与F也 服 从 ： 维正态分布，则N-齐也服从二维正态分布，即E (@) = E(灭 - » = E(万- E(力=4- 外=0 .D(初=D ( N - 1 ) = D(乃 + D (f )- c ov(冗f ) = U " 生 :二2丝故正确答案为 C.11(1 0 )设X ， X ” ， ％ 6是 来 自 总 体N (〃, 4 )的 简 的 随 机 样 本 ， 考 虑 假 设 检 验 问 题 ：Z f0： A< 1 0 , H1：A> 1 0 . < P (x )表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为歹 = {刀4 1 1 } ,其中N =上 之X , ,则“ = 1 1 . 5时，该检验犯第二类错误的概率为1 6(A)l - (D (0 . 5 ) (B)1 - (D (1 )(0 1 - 0 (1 . 5 ) (D ) 1 - 0 (2 )【 答案】B._ _ 1【 解析】所求概率为尸{ X v 1 1 } X~ N (1 1 5 , _ ),^ - 1 1 . 5 1 1 - 1 1 . 5P { ^ < 1 1 } = PT -M212= 1 - 0 (1 )故本题选B.填 空 题 (本 题 共6小 题 ，每 小 题5分, 共30分. 请将答案写在答题纸指定位置上. )(1 1 )rdxX2+2X+2【 答案】【 解析】—7T =一7T4 4冗(1 2 )设函数y = y(x )由参数方程x = 2e' +t + l , x < 0y = 4(t- \)e, + t \ x ^ O确定， 则 塞I【 答案】3' w> dv 4 rer+ 2 / 团 d2y (4er +4ter+2)(2er +l)- (4ter +2t)2er【 解析】由； - = K ，； ,得 六 - - - - - - - - - - - -二 , 二3 - - - - - - - -- - - - ，dx 2 d + l dx' (加w 祖 d2y I 2将，= 0用入得不^~ L o =—.(1 3 )欧拉方程//+专， ' —4 y = 0满足条件y(l ) = 1 , / (I) = 2得解为y =.【 答案】X2.1解 析 】令x = e ' ,则 孙 ' = 女0»"=噌 • -型 ，原 方 程 化 为 起- 4 y = 0,特征方程为dt dx~ dx dx'A2- 4 = 0,特 征 根 为4=2,4=-2,通解为y = G e " + G e』 =G x 2 + G x - 2 ,将初始条件)，(l ) = l , y' (l ) = 2带入得G = 1 , C2 =0,故满足初始条件的解为y = . / .(1 4 )设E为 空 间 区 域{(. r, y, r)| . V + 4 v2< 4 , 0 < z £ 2 }表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分j j x2dyd:+ y'dzdx + zdxdy =.【 答案】4 " .4［ 解析】由高斯公式符原式="(2 . r + 2y + l )rf K =小 小dxdy = 4葭nD(1 5 )设4 二4为3阶矩阵， 劣 为代数余子式，若 / 的每行元素之和均为2 ,且卜| = 3 ,4 1 + & + 4 i = ---------------------Aa = = 2,a =， 则 / 的 特 征 值 为 回 ，对应的特征向最为A\A\ 知/ 力 = 口 。

而 /= 4 ,M ；'4I+4I+4I'A* 1 = An +i d 1/0+八 十 儿,即4 i + 4 i +4】 = 万・( 1 6 )甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球， 先从甲盒中任取一球， 观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取•球•令X .Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与丫的相关系数.【 答案】1 .’ ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 % (o n (o r【 解答】联合分布率( x , y ) ~ 3 1 1 3 , x ~ 1 1 r ~ 1 1< 1 0 5 5 io \2 2) 2>co v ( XK ) = — . D X = - , D Y = - , ^ px r=- .三、解答题( 本题共6 小题，共 70分. 请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )( 1 7 ) (本题满分1 0分)求极限l iin1s iii. v【 答案】上21 + [ e' c i t 1 s in x - 1 - V erdt【 解析】解：l im - - - - - - - J = l im - - - - - - - -应一XTO ex - 1 s in . r … (ex - l ) s in x又因为「『改 =1。

/+ ( 尸) 劝=1 + ； / + 0 ( . / ) ,故( X- ±X, + ( . / ) ) (1 + * + 1/ + ") ) - > + 祥 )原式=l im ——卫- - - - - - - - - - - - - - - - -J - - - - - - - - - - - - 2- - - - - - - - -* 一 X-—X2 + < ? ( X2) ]= l im 2_± - 1 = 1 .x — o x2 2( 1 8 ) ( 本题满分1 2分)设〃 . ( 工) =「+必： + =L2 ,).求级数｝ / j( x ) 的收敛域及和函数.- ^ ― + ( l - x ) hi( l - x ) + x x e( O , l )【 答案】S ( x ) = 1 - e- '- ^ ― , x = l, e- l【 解析】s ( . r ) = £" 向=刘 e " + 收敛域© U , S , ( * ) = £ e- - = - ^ - . x eC O . l ]M Zu L 〃 ( 〃 + 】 )J t u l - «X 1 B „n + l 9 0 y »+ lSO = = L-- -汇 J = - . r l n ( l - x ) - [ - l n ( l - . r ) - . r ]=( 1 - x ) l n ( l - x ) + x, x e( O . l )S , ( l ) = l im S , ( x ) = l-—- + ( 1 - x ) l n ( l - x ) + x , x e ( 0 . 1 )S ( x ) = 1 — 寸, x = l, e- l( 1 9 ) ( 本题满分1 2分){Y~ _ i _ 2 >2 — - 64 x + 2” 二 二 3 0 ，求C上的点到叼坐标面距离的最大值.【 答案】6 6【 解析】设拉格朗日函数Z( x . y . : : , 4 〃) = 二 2 + 4/+2 /一 二 — 6 ) + 〃( 4 « + 2 ' + 二 一 3 0 )Lx = 2x A + 4 〃 = 0Ly = 4 y A + 2“ = 0Z. = 2z - A + w = 0x2 + 2y- - r = 64 . r + 2y + r = 3 0解得驻点：( 4 , 1 , 1 2) , ( - 8 , - 1 6 6 )C上的点( - 8 , - 2, 6 6 ) 到 x o y 面距离最大为6 6 .( 20 ) ( 本题满分1 2分)设D u K是有界单连通闭区域，1 (D ) = jj( 4 - x2- y- )dxdy取得最大值的积分区域记为P , .D⑴求/ ( A ) 的值.( 2) 计 算 f -e 'T + ]， ) d： + ( 4 . [, T t ) 外 ,其 中 是A的正向边界.x + 4 y -【 答案】- n.【 解析】( 1 ) 由二市积分的几何意义知：Z(D) = JJ(4-X2-/M

上D大于时，/ ( D) 达到最大，故乌：.r+yZ d 且/ ( DJ =/ d 可： (4-， ' ”衣 = 8 ".(2)补2： / + 4 / =/ ( r 很小)，取2的方向为顺时针方向，r (xex ^,! +y)dx + (4yex *4y! - x)dy _L x1+ 4 y2_ i • (x e'"J +y )dx + (4y e'T' ~x)dy ( • (xex "4v +y)dx + (4yex *4r - x)dyJ o , 产 +4 / J x2 +4y2c Z J j * c Z ? ； J cD】 J=- -y e j xdx + 4ydy - - rer J ydx - xdy = [ j j- 2d(y- - n .r an ： 『犯 r D j(21X本题满分12分)， a i -r已 知 /= 1 a -1 .-1 T a ，⑴求正交矩阵尸.使得P ; 4 P为对角矩阵:(2)求正定矩阵C ,使得不= (a + 3 ) E - 4*1国2餐【 答案】) 尸=■【 解析】A -⑴ 由 | 花 _4卜-1近O—-17一」-'2当4 = a + 2时'2 -1((” + 2 * - 4 ) = -1 2<1 1当 4 =4 = ° _ ]所-1 -1((«-1)£ -J)= -1 -1J 1Z + 2 、. 则 严 N 尸=A= a- \(2) PTC2P = PT(a + 3)£ 一月)尸= ((〃 + 3)£ — A = 4、 4J7n PS 尸 C P（ 22X本题满分12分）在区间（ 0 ,2）上随机取一点, 将该区间分成两段，较短的一段长度记为X、 较长的一段长度记为y ,令 z二人Y .X（ 1）求X的概率密度:（ 2）求Z的概率密度.（ 3）求E停）| l ,0

, 其 他 ：⑵式二） ） '=—=~ ^7 ,二之］(-+ 1)' .(3) -1 + 21112.0 ,其他11,0