第二章(1,2)随机变量及其分布.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,第二章,随机变量及其分布,2.1,随机变量,例,总机某段时间内接到的次数,可用一个变量,X,来描述：,X=0,1,2,例,考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以,X,记灯泡的寿命（以小时计）则：,X=t,(t0),例,检测,一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个变量来描述,:,设,是随机试验,E,的,样本空间,若,定义,则称,上的单值实值函数,X(,),为,随机变量,随机变量一般用大写英文,字母,X,Y,Z,或小写希腊字母,表示,随机变量,是,上的映射,此映射具有如下特点,:,定义域,事件域,；,随机性,随机变量,X,的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；,概率特性,X,以一定的概率取某个值或某些 值引入随机变量的意义,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来,.,如：单位时间内某交换台收到的呼叫次数用,X,表示，它是一个,随机变量,收到不少于,1,次呼叫,没有收到呼叫,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内,.,也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。

随机变量分类,所有取值可以逐个,一一列举,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举2.2,离散型随机变量 及其分布律,定义,若随机变量,X,的可能取值是有限个或可列无限多个,则称,X,为,离散型随机变量,一、概念,例,有奖储蓄，,20,万户为一开奖组，设特等奖,20,名，奖金,4000,元；一等奖,120,名，奖金,400,元；二等奖,1200,名，奖金,40,元；末等奖,4,万名，奖金,4,元考察得奖金额,X,X,的可能取值为：,0,4,40,400,4000,p,解：,4000,，,400,，,40,，,4,，,0,0001,.0006,.7933,.2,.006,描述,X,的概率特性常用,概率分布,或,分布律,X,p,即,或,分布律的性质,非负性,规范性,例,1,一批产品的次品率为,8%,从中抽取,1,件,进行检验,令 写出,X,的分布律,.,X,的分布律为,:,X,p,概率分布图,:,0.08,0 1,x,y,0.92,解：,1.,两点分布,(01,分布,),只,取两个值的概率分布,分布律为：,X 1 0,p,k,p 1-p,0 p 1,或,二、几种重要的离散型随机变量,应用场合,凡试验只有两个可能结果,常用,0 1,分布描述,如产品是否合格,人口性别统计,系统是否正常,电力消耗是否超标等。

10,件产品中，有,3,件次品，任取两件，,X,是“抽得的次品数”，求分布律X,可能取值为,0,，,1,，,2,例,2,解：,所以，,X,的分布律为：,X,0,1,2,p,7/15,7/15,1/15,注,求分布律，首先弄清,X,的确切含义及其所有可能取值2.,二项分布,伯努利试验和二项分布,设试验,E,只有两个结果：,和，记,:,则称试验为伯努利试验考虑,可以用何种分布来描述伯努 利试验的结果？,答,（,0-1,）分布,例,3,设生男孩的概率为,p,生女孩的概率为,q=1-p,，,令,X,表示随机抽查出生的,4,个婴儿中,“,男孩,”,的个数，求,X,的概率分布将,E,独立,地,重复,n,次，则称这一串重复的独立试验为,n,重伯努利,(,Bernoulli,),试验，简称为,伯努利,(Bernoulli),试验,X,表示随机抽查的,4,个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为,p,.,X,=0,X,=1,X,=2,X,=3,X,=4,在,n,重伯努利试验中,事件,A,可能发生,0,1,2,n,次,称,X,服从参数为,p,的,二项分布,记作：,当,n,=1,时，,P,(,X,=,k,)=,p,k,(1-p),1-k,k,=0,1,即,0-1,分布,（,2,）每次试验只考虑两个互逆结果,A,或 ，,伯努利试验的结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（,1,）每次试验条件相同；,且,P,(,A,)=,p,，；,（,3,）各次试验相互独立。

二项分布描述的是,n,重伯努利试验中出现,“,成功,”,次数,X,的概率分布二项分布 的图形特点：,X,B,(,n,p,),当,(n,+1),p,为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=(,n,+1),p,和,k,=(,n,+1),p,-1,处达到最大值；,当,(,n,+1),p,不为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=(,n,+1),p,达到最大值例,4,已知,100,个产品中有,5,个次品，现从中,有放回,地取,3,次，每次任取,1,个，求在所取的,3,个中恰有,2,个次品的概率解,:,依题意，,p,=0.05,设,X,为所取的,3,个中的次品数则,X,B,(3,0.05)，,于是，所求概率为,：,例,5,设有,80,台,同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是,0.01,，且一台设备的故障能由一个人处理考虑两种配备维修工人的方法，,其一,是由,4,人维护,，,每人负责,20,台,；,其二,是由,3,人共同维护,80,台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的,概率大小,X,=,第,1,人维护的,20,台中同一时刻故障台数；,A,i,：第,i,人维护的,20,台故障不能及时维修”,（,i,1,2,3,4,）；,解：,按第一种方法。

而,X,b,（,20,0.01,）,，,故有,80,台中发生故障而不能及时维修的概率为：,设：,Y,=80,台中同一时刻发生故障的台数；,按第二种方法N,),N,),n,大,p,小,np,=3,用,=,np,=3,的泊松近似,我们求满足,的最小的,N,.,查泊松分布表得,N,+1 9,即,N,8,即至少需配备,8,个维修人员,.,例,3,某地的“天天彩”中奖率为,p,某人每天买,1,张,若不中奖第二天继续买,1,张,直至中奖为止求该人购买次数,X,的分布律X=k,表示购买了,k,张,前,k-1,张都未中奖,第,k,张中了奖补充,.,几何分布,适用于试验首次成功的场合,解：,1 2 3 k-,1,k,例,4,一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等,.,以,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求,X,的概率分布A,i,=,第,i,个路口遇红灯,i=1,2,3,解,:,设,依题意,X,可取值,0,1,2,3,P X=0,=,P(A,1,)=,路口,3,路口,2,路口,1,路口,3,路口,2,路口,1,p=1/2,路口,3,路口,2,路口,1,路口,3,路口,2,路口,1,X,0,1,2,3,p,1/2,1/4,1/8,1/8,概率分布：,当随机变量为非离散型时以上方法失效。

此时，我们研究随机变量在某区间上的概率。