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第一章 信号的傅立叶变换1．连续信号的傅立叶变换正变换反变换1.1卷积定理如果，则有其中 1.2帕斯瓦尔定理（Parseval’s）如果，则有特殊的，当=时，则有能量定理：2 连续周期信号的傅立叶级数变换2.1 周期信号如果一个信号满足，其中n为整数，T为任意常数，则为周期信号其中T为满足这个关系式的最小正周期，记作2.2 周期信号的傅立叶级数展开，其中（1）证明： 2.3 周期信号的傅立叶级数变换正变换反变换2.4 卷积定理如果 ，则有，其中（2）证明：（3）证明：2.5 Parseval定理如果，则有 证明： 特别的，当时，有能量定理：3 周期模拟信号的傅立叶变换已知，，；则已知，则由周期信号的傅立叶级数变换对得周期信号的傅立叶变换：其中为冲激的强度系数4 从模拟信号到周期模拟信号分析如下：假设记 则有 所以 对于实际的周期信号有结论：对比两个式子得5 离散信号傅立叶变换正变换 反变换5.1卷积定理如果，则有5.2 Parsveal定理如果，则有6 从模拟信号到离散信号；（当时，的值为零）已知：，实际离散信号：（当n不是整数时，没有意义）。

讨论设：已知: 于是有：模拟信号离散化在频域其本质是周期化，并有的系数7．离散周期信号的傅里叶级数变换 7.1周期卷积定理如果则有其中 1）证明：（2）证明： 7.2帕斯瓦尔定理如果 则有 特别的，当,则为能量定理 （3） 证明： 8．从离散信号到离散周期信号给定离散信号：，其中 则有输出 下面讨论的频谱： 又由傅里叶级数与傅里叶变换的关系有 所以有 于是，由卷积定理得到 可得傅里叶变换对 以下讨论的傅里叶变换与其傅里叶级数变换之间的关系：对，令，其中取全体整数于是再讨论： 令，其中取全体整数于是 从而 小结：如果，，则有 9.各傅里叶变换对之间的关系9.1 考虑对信号先进行周期化，再采样的过程，即 其中假设 ，已知记，由卷积定理有 对做傅里叶反变换有将与的傅里叶级数表示形式对比可得的傅里叶级数变换与傅里叶变换之间的关系为： 可得 令，其中取全体整数于是 以下从时域进行分析：令，其中取全体整数。

于是 对进行讨论有 令，其中取全体整数于是 由于为常数，且，所以有对比与上式可得 由傅里叶级数正变换公式有： 已知：，其中已知，现对和分析如下：首先对周期化得：，再对进行采样得：对先进行采样得：对周期化得： 令，其中，取整数，则 于是可得结论：=小结： 其中其中：离散序列傅立叶变换： ，其中若取，则，其中为数字频率，为模拟频率 已知，其中， 其中： 所以：10.时限信号与带限信号如果信号满足 ， ，则称为时限信号。

如果的傅里叶变换满足，，则称为带限信号定理：带限信号不能同时为时限信号，反之，时限信号不能同时为带限信号证明：设为带限信号，即，， 根据傅里叶变换公式有 由于为带限信号，可无限次微分即： 由泰勒级数知： 用反证法证明：设同时为时限信号，即， 取，则； 由得，与假设矛盾11.测不准原理假设1. 中心点时域中心点： 频域中心点： 2. 偏离中心点的半径（方差）时域方差： 频域方差： 3. 测不准原理测不准原理的核心： 证明：假设信号时域中心点为，其频域中心点为为便于证明将在时域进行平移后得到时域中心点为0的信号，在频域将平移后得到频域中心点为0的信号 用算方差：用算方差：讨论： 讨论： 以下是不等式的证明：第二章 信号的空间分析1．距离空间设为信号空间，在这个空间的任意两个元素中，按一定得法则赋予一个非负数，其中如果满足以下条件： （a），当且仅当时， （b） （c），其中 则称为定义于信号空间上的距离，这时称为距离空间。

例1：用表示区间上所有连续信号构成的信号空间，定义该空间距离为例2：设所有满足（其中为一正数，为正整数）的信号构成的信号空间记作，定义为该空间的距离例3：设所有满足（其中为一正数，为正整数）的信号构成的信号空间记作，定义为该空间的距离注：例2、例3中距离三角不等式可由Minkowski不等式证明柯西序列：在序列中，如果对，则称序列为柯西序列完备性：如果以空间中任何一个柯西序列都收敛于该空间，则该空间为完备的2、线性空间设为一个信号空间，如果满足如下条件则称之为线性空间；（1） 如果，对定义确定性的运算，记作“”，称为加法运算，且，该加法运算满足：（ａ) ;(ｂ) ;(ｃ) 中有唯一的一个元素，记作“0”，称为零元素，使;(ｄ) 对,存在一个逆元素（或称负元素），记作“”,使; 例：有限长的信号空间，定义“”为卷积运算 (ａ) (ｂ) (ｃ) 取为零元素，则 (ｄ) 假设，则不一定在X内 因此不是线性空间2） 对数域C的运算（C为复数域），满足如下条件 (ａ) ；， (ｂ) (ｃ) (ｄ) ； （ｅ）则称为线性空间。

例：记所有信号组成的集合为能量有限信号空间，记为若定义常规幅度加法为加法运算，则为线性空间线性子空间：如果X为一个线性空间，A为X的一个子集，,如果对任意，及任意常数，有，则A为X的一个线性子空间信号的线性表示：设X为一个线性空间，如果，均可以唯一表示为；其中，则称为X的一个基组（基组是线性无关的）3、赋范空间设X为一个线性空间，对X中的任意一个元素，按一定的法则赋予一个非负数，记作，如果满足：（1），当且仅当时；（2），（3）则称定义线性空间的一个范数，这时称X为线性赋范空间例：设能否定义为，需判断：（用下面的常见不等式很容易证明）常用不等式：Minkowski不等式（1）（2） 其中为整数Holder不等式： （1） （2） 其中q，p为整数，且由范数导出距离：给定X为一个线性赋范空间，可以在该空间上定义距离为：；例：取，若，用近似 若，则用有限次谐波近似，.m=0,1……N若，则两者正交4、内积空间设X为一线性空间，对X中的任意两个元素x，y，定义一个X到复数域的映射，记作， 如果映射满足： 1），其中为复共轭运算 2）对任意常数，，有 3）（当且仅当时，） 4） 则称这个映射为内积运算，这时称X为内积空间。

常用的内积运算：（1） 设,通常定义其内积运算为 （2） 设，通常定义其内积运算为 （3） 对随机信号通常定义内积为：，E为数学期望4） 周期信号通常定义内积为从内积导出范数：对内积空间可以定义范数为；下面证明是否为范数：①②证明： 则③证明： 取，则上式 即其中即若内积空间的两个元素满足（），则称x，y互为正交回到赋范空间的例子：，，选使最小 5.信号的表示设为信号空间的一组基，即都可以唯一的由的线性组合表示出，即，其中为复常数5.1讨论有限基组的情况即为有限个元素组成，这时均可唯一表示为，其中为正整数由空间内积有： 其中由此可得满足以下方程： 对自身进行内积计算有： 令则，其中，为的共轭加转置由内积定义，有时，，所以矩阵正定，存在逆矩阵5.2 正交规范基如果信号空间的一组基满足 则称为信号空间的正交规范基为的正交规范基则有：证明： 由于 注：信号空间的基不唯一，即一个信号空间可以有多组不同的基。

6.基的正交规范化设为信号空间的任意一组基，为正交规范化化后得到的正交规范基取，由可得： 取，由正交规范基性质有可得 又由于 7、对。