GCT辅导第四部分微积分.ppt

2009年年8月月GCT数学数学Wuhan University of Technology9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第11章章 连续与极限连续与极限1 1．函数定义．函数定义（第三章已给出）（第三章已给出）2 2．函数特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性）．函数特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性）3 3．．复合函数复合函数 11.1 11.1 一元函数一元函数11.2 11.2 数列极限数列极限1 1．．定义定义2 2．．性质性质9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1111章章 连续与极限连续与极限1 1．．定义定义及关系及关系2 2．．无穷小量性质无穷小量性质11.3 11.3 函数极限函数极限定义及性质定义及性质11.4 11.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1111章章 连续与极限连续与极限11.5 11.5 函数连续性函数连续性1 1．．定义定义2 2．．函数间断点及分类函数间断点及分类3.3. 运算法则运算法则 4.4.闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质定义定义（（1 1）有界）有界 （（2 2）最值存在）最值存在 （（3 3）介值存在）介值存在 （（4 4）零点）零点定理定理 重点：会判断间断点的类型；利用连续性求函数中参数；重点：会判断间断点的类型；利用连续性求函数中参数；利用零点定理判断方程根及所在区间。

利用零点定理判断方程根及所在区间典型例题练习典型例题练习9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1212章章 导数（微分）导数（微分）12.1 12.1 导数的定义导数的定义12.2 12.2 导数公式及求导法则导数公式及求导法则12.3 12.3 高阶导数高阶导数12.4 12.4 微分微分12.5 12.5 中值定理中值定理9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1212章章 导数（微分）导数（微分）12.6 12.6 洛必达法则洛必达法则12.7 12.7 函数单调性、极值函数单调性、极值（考试重点内容）（考试重点内容）12.8 12.8 函数的最大值、最小值问题函数的最大值、最小值问题（考试重点内容）（考试重点内容）12.9 12.9 函数的凸凹、拐点及渐进线函数的凸凹、拐点及渐进线典型题典型题9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.113.1不定积分的概念和简单计算不定积分的概念和简单计算1 1．．定义定义2 2．．公式公式3.3. 性质性质13.2.13.2.不定积分的计算方法不定积分的计算方法1 1．．第一类换元法第一类换元法（凑微分）（凑微分）2 2．．第二类换元法第二类换元法9/11/20242009年年8月月GCT数学数学3.3.分步积分法分步积分法 关键在于正确选择 第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.3 13.3 定积分的概念及性质定积分的概念及性质1.定积分：定积分：I I与与 有关，与积分变量无关，与分割及有关，与积分变量无关，与分割及 的取值无关。

的取值无关 9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学重点：几何意义重点：几何意义表示由表示由x x轴及轴及 围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积 2. 2. 性质性质13.4 13.4 微微积积分分基基本本公公式式，，定定积积分分计计算算牛顿牛顿——莱布尼茨公式莱布尼茨公式 9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.5 13.5 定积分应用定积分应用1.1.平面图形面积：平面图形面积： 注意：要善于根据不同情形，采用对不同变量注意：要善于根据不同情形，采用对不同变量积分，有时对变量积分，有时对变量y y积分可能更简单的求出曲线图形面积分可能更简单的求出曲线图形面积2. 2. 旋转体体积旋转体体积及及x x轴绕轴绕x x轴旋转一周：轴旋转一周： 及及y y轴绕轴绕y y轴旋转一周：轴旋转一周： 9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学3. 3. 平行截面积已知的立体体积平行截面积已知的立体体积4. 4. 平面弧长平面弧长垂直于垂直于x x轴的平面截立体轴的平面截立体 所得截面为所得截面为 则则 体积体积 4. 4. 平面弧长平面弧长则则 典型例题与练习典型例题与练习9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1414章章 行列行列式式1. 1. 定义定义14.1 14.1 行列式行列式2. 2. 性质性质某行为某行为0 0则则D=0D=0；互换互行变号；常数因子；互换互行变号；常数因子可提到行列式符号外；两行对应成比例，行列式等于可提到行列式符号外；两行对应成比例，行列式等于0 0。

3. 3. 几个特殊的行列式几个特殊的行列式（（1 1）对角）对角 （（2 2）上三角）上三角 （（3 3）下三）下三角角9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1414章章 行列行列式式14.2 14.2 行列式的计算行列式的计算（（1 1）利用降阶方法）利用降阶方法 （（2 2）利用性质变换或几种特）利用性质变换或几种特殊行列式殊行列式 （（3 3）迭代；找出）迭代；找出 与与 、、 的关系重点：利用定义及性质能迅速求出行列式重点：利用定义及性质能迅速求出行列式例题与练习例题与练习9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1515章章 矩阵矩阵 15.1 15.1 矩阵运算及性质矩阵运算及性质 由由n m n m 个数个数 排成排成m m行行n n列的矩形数表列的矩形数表 称为称为m nm n矩阵矩阵A=BA=B：：（（1 1））A A、、B B必须同型必须同型（（2 2）） （（i=1,2,i=1,2,…..n, j=1,2..n, j=1,2….m.m））9/11/20242009年年8月月GCT数学数学•15.2 矩阵运算矩阵运算 •（（1））A+B=B+A （（2）（）（A+B））+C=A+（（B+C）） •（（3））A+0=A （（4））-A=（（aij））•（（5））AB=C(cij) （（6））乘法乘法 •15.3可逆矩阵可逆矩阵练练习习9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1616章章 向量向量16.1 16.1 向量的概念向量的概念 1 1、、定义定义 2 2、、线性运算线性运算16.2 16.2 向量的线性相关向量的线性相关 1 1、、向量的线性组合与线性表出向量的线性组合与线性表出 2 2、、线性相关与线性无关线性相关与线性无关16.3 16.3 向量组的秩向量组的秩例题与练习例题与练习9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1717章章 线性方程组线性方程组17.117.1 线性方程组的概念线性方程组的概念17.2 17.2 齐次线性方程组齐次线性方程组 基础解系：基础解系： 同一线性方程组的基础解系不唯一，但等价，可用初同一线性方程组的基础解系不唯一，但等价，可用初等变换法求基础解系。

等变换法求基础解系 9/11/20242009年年8月月GCT数学数学17.3 17.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组A Ax x=b=b上述方程的解＝上述方程的解＝{A{Ax x=b=b的一个特解的一个特解} } ＋＋{A{Ax x=0=0的基础解系的基础解系} } 例题与练习例题与练习第第1717章章 线性方程组线性方程组9/11/20242009年年8月月GCT数学数学第第1818章章 特征矩阵与特征向量特征矩阵与特征向量18.1 18.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念1、定义、定义 设设A为为n阶矩阵，若阶矩阵，若 及非零及非零n维列向量维列向量x，，s.t ，， 则则 是是A的特征值，的特征值，x是属于特征值是属于特征值 的特征向量的特征向量2、计算、计算 ，特征多项式计算，特征多项式计算N阶矩阵阶矩阵A的特征多项式在复数域有的特征多项式在复数域有n个根个根 (i = 1,2…n) 的非零的非零解是属于特征值解是属于特征值 的特征向量。

的特征向量 3 3、、特征向量及性质特征向量及性质9/11/20242009年年8月月GCT数学数学18.2 18.2 矩阵相似对角化问题（重点）矩阵相似对角化问题（重点） 若存在矩阵若存在矩阵P可逆，使得可逆，使得 则则 A～～B 若若A～～B 则矩阵则矩阵A，，B有相同的特征多项式，特征值，相同的行有相同的特征多项式，特征值，相同的行列式列式 ※ 矩阵矩阵A是是n阶方阵，则阶方阵，则A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 A有有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量 属于属于A的不同特征值的特征向量线性无关的不同特征值的特征向量线性无关 若有若有n个无关向量个无关向量 满足满足 取取则则 告诉了告诉了P的寻找方法的寻找方法※ N阶矩阵阶矩阵A可对角化等价于可对角化等价于 A的每个特征值的重数的每个特征值的重数 ＝＝ 这个特征这个特征值对应无关的特征向量的个数值对应无关的特征向量的个数 第第1818章章 特征矩阵与特征向量特征矩阵与特征向量9/11/20242009年年8月月GCT数学数学•例题与练习例题与练习9/11/2024。