高中数学第1章导数及其应用章末复习课课件苏教版选修22.ppt

章末复习课第1章　导数及其应用学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.5.掌握定积分的基本性质及应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.导数的概念(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值 ＝ 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 .(2)几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.f′(x0)2.基本初等函数的导数公式(1)(xα)′＝ (α为常数).(2)(ax)′＝ (a>0，且a≠1).(3)(ex)′＝ .(4)(logax)′＝ logae＝ (a>0，且a≠1).(5)(ln x)′＝ .(6)(sin x)′＝ .(7)(cos x)′＝ .αxα－1axln aexcos x－sin x3.函数的求导法则(1)[f(x)±g(x)]′＝ .(2)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数).(3)[f(x)g(x)]′＝ .f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(4)[ ]′＝ (g(x)≠0).4.复合函数的求导法则(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.5.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数.(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的 与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0极值6.微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F(b)－F(a)，即 F′(x)dx＝F(b)－F(a).题型探究例例1　　设函数f(x)＝ x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行.(1)求a的值；解答类型一　导数几何意义的应用解　解　f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去).故a＝1(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.解答解　解　由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝ f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1　　直线y＝kx＋b与曲线f(x)＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝____.解析　解析　由题意知f(2)＝3，则a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1.f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.－15答案解析例例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；解答类型二　函数的单调性、极值、最值问题(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.证明本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2　　已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) ，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调增区间；解答(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.解答例例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？解答类型三　生活中的实际问题(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－ x3＋x2＋3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.解答解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3　　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解答(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.解答当堂训练1.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.答案2233445511解析　解析　依题意得y′＝ex＋xex，令y′＝0，可得x＝－1，解析2.函数f(x)＝x·e－x的单调增区间是__________.答案2233445511解析(－∞，1)令f′(x)＞0, 得x＜1，故单调增区间为(－∞，1).3.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝___.2233445511答案解析04.体积为16π的圆柱，当它的半径为___时，圆柱的表面积最小.2233445511答案解析2解析　解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小.5.设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；2233445511解答解　解　f(x)的定义域为R.∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.解得a＝2，b＝e.(2)求f(x)的单调区间.2233445511解答规律与方法1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.本课结束。