几何平均数和算术平均数.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑几何平均数和算术平均数 教学目标 　　（1）掌管“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；　　（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；　　（3）能够解决一些简朴的实际问题；　　（4）通过对不等式的布局的分析及特征的把握掌管重要不等式的联系；　　（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的熟悉习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观； 教学建议 1．教材分析 （1）学识布局 本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释 （2）重点、难点分析 本节课的重点内容是掌管“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌管两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的斟酌、尝试，留神到平均值定理中等号成立的条件，察觉使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不成，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要留神培养学生分析归纳问题的才能，扶助学生形成学识体系，全面深刻地掌管平均值定理求最值和解决实际问题的方法． ㈠定理教学的留神事项 在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生留神以下两点： （1） 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。

例如 成立，而 不成立 （2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞领会教学时，要指点学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当 时取等号，其含义就是： 仅当 时取等号，其含义就是： 综合起来，其含义就是： 是 的充要条件 （二）关于用定理证明不等式 当用公式 ， 证明不等式时，理应使学生熟悉到： 它们本身也是根据不等式的意义、性质或用对比法（将在下一小节学习）证出的因此，只要用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用对比法证明 （三）应用定理求最值的条件 应用定理时留神以下几个条件： （1）两个变量务必是正变量； （2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值； （3）当且仅当两个数相等时取最值． 即务必同时得志“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值． 在求某些函数的最值时，还要留神举行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数． （四）应用定理解决实际问题的分析 在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生留神； （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案。

2．教法建议 （1）导入新课建议采用学生对比熟谙的问题为背景，这样轻易被学生采纳，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课学识自然且合理． 　　（2）在新授学识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的学识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成对比系统和完整的学识布局．对有关概念使学生理解切实，尽量以多种形式反映学识布局，使学生在对比中得到深刻理解．　　（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，表达学生主体地位，学生获取学识务必通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入斟酌问题，有利于培养学生思维生动、严谨、深刻等良好思维品质．　　（4）可以设计解法的正误议论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误理由，加深对正确解法的理解，真正把新学识纳入到原有认知布局中．　　（5）留神培养应用意识．教学中应不失时机地使学生熟悉到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为巩固学生的应用意识，在平日教学中就应适当增加解允许用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”． 第一课时 教学目标： 1．学会推导并掌管两个正数的算术平均数与几何平均数定理； 　　2．理解定理的几何意义；　　3．能够简朴应用定理证明不等式. 教学重点：均值定理证明 教学难点：等号成立条件 教学方法：引导式 教学过程（）： 一、复习回想 上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回想. （学生回复） 由上述性质，我们可以推导出以下重要的不等式. 二、讲授新课 1． 重要不等式： 假设 证明： 当 所以， 即 由上面的结论，我们又可得到 2． 定理：假设 是正数，那么 证明：∵ （） 即 鲜明，当且仅当 说明：ⅰ）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ） 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数. ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件. 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为 的线段为直径作圆，在直径AB上取点C， .过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么 即 这个圆的半径为 ，鲜明，它不小于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合；即 时，等号成立. 在定理证明之后，我们来看一下它的概括应用. 4． 例题讲解： 例1 已知 都是正数，求证： （1）假设积 是定值P,那么当 时，和 有最小值 （2）假设和 是定值S,那么当 时，积 有最大值 证明：由于 都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有 上式当 时，取“=”号，因此，当 时，和 有最小值 . （2）和 为定值S时，有 上式当 时取“=”号，因此，当 时，积 有最大值 . 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应留神三个条件： （1）函数式中各项务必都是正数; （2）函数式中含变数的各项的和或积务必是常数； （3）等号成立条件务必存在. 接下来，我们通过练习来进一步熟谙均值定理的应用. 三、课堂练习 课本P11练习2，3 要求：学生板演，老师讲评. 课堂小结： 通过本节学习，要求大家掌管两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应留神定理的适用条件. 课后作业：习题6.2 1，2，3，4 板书设计： §6.2.1 …… 1．重要不等式 说明ⅰ） 4.例题…… 学生 …… ⅱ） …… 练习 ⅲ） …… 2．均值定理 3.几何意义 …… …… 其次课时 教学目标： 1．进一步掌管均值不等式定理； 　　2．会应用此定理求某些函数的最值；　　3．能够解决一些简朴的实际问题. 教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点： 解题中的转化技巧 教学方法：启发式 教学过程（）： 一、复习回想 上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回想一下定理内容及其适用条件. （学生回复） 利用这确定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来持续这方面的训练. 二、讲授新课 例2 已知都是正数，求证： 分析：此题要求学生留神与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的熟悉. 证明：由 都是正数，得 即 例3 某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为 ，深为3m，假设池底每 的造价为150元，池壁每 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留神数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应留神不等式性质的适用条件. 为了进一步熟谙均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来举行课堂练习. 三、课堂练习 课本P11练习1，4 要 求：学生板演，老师讲评. 课堂小结： 通过本节学习，要求大家进一步掌管利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并熟悉到它在实际问题中的应用. 课后作业： 习题6.2 5,6,7 板书设计： 均值不等式 例2 §6.2.2 例3 学生 定理回想 …… …… …… …… …… 练习 …… …… …… — 11 —。