《汽车行驶问题》ppt课件.ppt

汽车行驶问题,问题一：,曲率限制的停车问题,一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？,,,,,,A,B,背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小可以以火车转弯的轨道来想象）,,问题二：,汽车绕行,,,,r,,(x3,y3),汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？,o,已知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知建筑群周围就是汽车道路问题三：,停车问题1,p,s,A,L,M,B,C,D,Q,R,,α,如图所示，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asinα,其中，0απ/2.第三个圆与这两个圆相切做圆A，B的另一侧公切线CD若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题1）车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短？,（2）汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车？,（3）汽车停于C，车头朝上，要行驶到P处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢？,问题四：,停车问题2,,,,A,B,α1,α2,驾驶一辆车从A处到B处，在A处与AB夹角为α1，到达B出后与AB夹角为α2.如何行驶，路程最短？汽车的最小转弯半径为a。

汽车绕行,,,,r,,(x3,y3),汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？,o,分析 汽车从A到B，又要取水，圆形建筑群又不能穿越，不外乎下面几种走法,已知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知建筑群周围就是汽车道路r,,(x3,y3),o,,,,C1,汽车于建筑群与A之间取水走法1,E1,E2,从A到取水点C1,再走C1E1直线切入圆道(上半圆道)，再沿圆道行至E2，最后由E2相切走直道至Br,,(x3,y3),o,,,,C2,汽车于建筑群与B之间取水走法2,E1,E2,汽车从A直道走入E1，再走弯道E1E2，从E2切出，到取水点C2，最后走直道至Br,,(x3,y3),o,,,C3,汽车在建筑群最南端取水走法3,E1,E2,汽车从A到E1，走圆道（下半圆道）至取水点C3,再走圆道至E2，再切出走直线到B根据假设，方法4优于方法2模型假设 不管走哪条路径，汽车到达圆形建筑群，总是走切线到达，再走圆弧，然后再从圆形建筑群到B点也走切线，这样才可能路程最短构建模型,1、先比较取水方法1和方法3的优劣,,,,r,,(x3,y3),o,,,,C1,E1,E2,,,,D,如上图所示，过B作通过圆心的直线交C1E1于D（如果不相交，C1更加靠左，方法1的距离更远），连接A、D。

再过B作切圆于另一点E3，过A作切圆下方于E4过D作切圆于E5的切线C,下面来证明方发1距离大于方法3的距离E5,方法3的距离为,方法1的距离为,下面专门证明,O,过圆心O连接E4延长交DE5于P，显然OE4垂直AE4，则,显然,于是，有,《01》,由OE5垂直于PE5知,《02》,而由弧长的计算，由,《03》,当,时，有,根据《02》、《03》，得到,《04》,由《01》、《04》相加，得,即,《05》,2、比较方法2与方法3的优劣,C,方法2的行驶距离为,仿照上面的证明，有,综上所述，方法3取水时，汽车行驶距离最短3、求方法3取水的汽车行驶距离,设∠C3OE1=α, ∠C3OE2=β.,|AO|=,《06》,《07》,《08》,所以，取水汽车行驶距离为,其中，,下面针对特殊的A,B,O的取值对假设的验证,,,,A,B,,,,,D,E,F,O,α1,α2,如图所示，从A到B的直线道路AB被一半径为r的圆（圆心在o）阻隔求A到B的最短路径,,,,p,Q,,,根据叙述，从A到B没有直线道路，只有走折线或其它曲线常识：两点间直线距离最短为了叙述的方便，作如下假设,1、由于圆的对称性，设A,B位于同一直线上，如图所示；,2、过A与已知圆相切于E,过B与已知圆相切于F; 3、设角EOF=α；,下面所叙述的过程为了说明走任意曲线APQB，其路程都大于走如下路程,注意到OE垂直于AE,OF垂直于BF，则,又假设曲线APQB的极坐标方程为（如果曲线不光滑，可以假设其逐段光滑，结果一样）,则曲线PQ的长度为,《1》,由于任意曲线APQB的任意点的半径都大于圆的半径r，则,《2》,由公式《1》和《2》知,曲线APQB,即从A到B走AE直线切入圆道EF，然后切出走直线FB.,曲率限制的停车问题,问题 一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？,,,,,,A,B,背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。

可以以火车转弯的轨道来想象）,,,,,,,,,,,,ds,,,dx,,,,,,dy,,,y=f(x),1、弧长元素（弧微分）,计算方法如右图1所示2、曲率,图1 弧长元素,,,,,,,,M0,M,s,C,如右下图2，以M0为起点的曲线光滑曲线C.曲线上任意点点M的切线的倾斜角为α,在M附近曲线上点M‘的倾斜角为α+△α,即当弧长变化△s时，倾斜角变化了△α 图2 曲率的示意图,现象：如果过M点时，曲线“弯曲”厉害，那么， △s引起的转角△α比较大.,《1》,曲率的定义 单位弧长上切线转角的大小即,弧段,的平均曲率为,点M处的曲率（曲线经过这点时的弯曲程度）为,（如果此此极限存在）,《2》,若曲线C对应函数的二阶导数存在且,《3》,将《1》和《3》带入《2》，得,图3 曲率示意图,《4》,例如，直线y=ax+b在任意点M的曲率为K=0（为什么？）,例如圆上任意一点的曲率相同不放设圆方程为,一阶及二阶导数分别为,带入《4》，得到曲率为,3、曲率半径,,,,,,,D,y=f(x),,,,M,设曲线y=f(x)在M处的曲率为K(K≠0)，在M点曲线凹侧法线上取点D,使得|DM|=1/K=r以D为圆心，r为半径的圆（与曲线C相切于M），成为曲率圆，D称为曲率中心，r称为曲率半径。

即曲率K与曲率半径r之间的关系就是,《5》,由此可见，如果曲线弯曲得越厉害，曲率K越大，曲率半径越小（转弯越明显，比如小汽车转弯）；如果曲线越平展，曲率K越小，曲率半径越大（转弯不明显，比如火车转弯）图4 曲率半径示意图,模型假设 设小汽车有一定长度，转弯半径不能太小，即路线曲率K不能太大或者曲率半径不能太小，写成约束为,其中a是小汽车能够根据自身长度，能够做最小的转弯半径（圆周半径）,《6》,建立模型,设汽车行驶路径的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，且已知x(0)=0，y(0)=0，x(T)=b,y(T)=0求如下条件极值问题,模型求解,对于这个最优路线控制问题，可以用初等方法求解,下面分三种情况来求解：1、如果A、B两点相距较远，|AB|2a，即,B距A超过汽车的最小转圈；2、如果|AB|2a，即A与B的距离小于汽车最小圈；3、|AB|=2a，这种情况比较简单，汽车按照最小转动圈驾驶，行驶半圆就可以到达B点，这不用专门讨论1、|AB|2a,当A距离B较远时，从A行驶到B的最短路径与AB线段维成一个向外凸的区域否则，如右图所示，汽车最短路径为ACDEB曲线而此区域的凸包ACEB明显比ACDEB路径短，矛盾。

A,B,C,D,E,图5 凸包示意图,,,A,B,O,C,a,汽车从A要行驶到B，首先要转向，而转向中，以最小半径a转动行驶距离最短，当转到C点时，沿着C切向行驶到B，|BC|是直线最短路径的距离，注意到条件《6》，汽车不能在AOC内行驶，故,是汽车转向最短路径所以，凸曲线（路径）ACB就是满足条件的最短路径其余凸路线必须为于ACB以外，其路径长度必定大于ACB的长度2、|AB|2a,从A到B的距离小于汽车最小转动圈的直径时，汽车从A点开始朝同一个方向只是转动时，始终到达不了B(最小转动半径决定）图6 先转再直行驶图,,,A,,,O,B,y,x,,C,,a,b,,O1,图7 B在最小转动圈内（1）,注意到汽车不能倒车，就只有两种方案可选1）汽车先朝y正向开到C点，而从C点到B点刚好在最小转动圈上，即可沿着转动圈行驶到B如图7所示则行驶路径长度为,,,,《7》,（2）汽车从A先向左反向沿着最小转动圈行驶至C，C与B恰好位于一个右向最小转动圈上，再沿着次圈行驶到B即可见图8,图8 汽车先左后右的转圈到达B,C,根据图示，汽车路径的长度为,φ,其中，,《8》,,可以证明：,由此可见，当|AB|2a时，选择图8行驶方式，路经最短，路经有曲率K=-1/a和K=1/a（开始左转向再右转向行驶）两个圆弧构成的路径最优。

作业1：停车问题,p,s,A,L,M,B,C,D,Q,R,,α,如图所示，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asinα,其中，0απ/2.第三个圆与这两个圆相切做圆A，B的另一侧公切线CD若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题1）车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短？,（2）汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车？,（3）汽车停于C，车头朝上，要行驶到P处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢？,p,A,L,M,B,C,D,Q,R,,α,p,A,L,M,B,C,D,Q,R,,α,,s,s,,p,s,A,L,M,B,C,D,Q,R,,α,,,,,作业2 停车问题,,,,A,B,α1,α2,驾驶一辆车从A处到B处，在A处与AB夹角为α1，到达B出后与AB夹角为α2.如何行驶，路程最短？汽车的最小转弯半径为a两个的夹角方向有关，工4种情况）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。