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精品高中数学苏教版选修21学案:3.1.5 空间向量的数量积 Word版含解析.doc

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    • 苏教版数学精品资料3.1.5 空间向量的数量积1.理解空间向量的夹角的概念,理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律.(重点)2.掌握空间向量的数量积及应用.(重点、难点)3.理解向量夹角与直线所成角的区别.(易错点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P91~P92上半部分,完成下列问题.a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉,a,b的范围是[0,π],如果〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.如图3­1­25,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,求向量与夹角的大小.图3­1­25【解】 ∵=,∴∠CAD1的大小就等于〈,〉.∵△ACD1为正三角形,∴∠CAD1=,∴〈,〉=.∴向量与夹角的大小为.教材整理2 空间向量的数量积阅读教材P92例1以上的部分,完成下列问题.1.数量积的定义设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|·cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.规定:零向量与任一向量的数量积为0.2.数量积的性质(1)cosa,b=(a,b是两个非零向量).(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b是两个非零向量).(3)|a|2=a·a=a2.3.数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);(3)a·(b+c)=a·b+a·c.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a·b=0,则a=0或b=0.(  )(2)在△ABC中,〈,〉=∠B.(  )(3)两个向量的数量积是数量,而不是向量.(  )(4)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件.(  )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.已知|a|=,|b|=,a·b=-,则a与b的夹角为________. 【导学号:09390075】【解析】 cos〈a,b〉===-,又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.【答案】 教材整理3 数量积的坐标表示阅读教材P93~P94例3以上的部分,完成下列问题.1.若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则(1)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0(a≠0,b≠0).(3)|a|==.(4)cos〈a,b〉=(a≠0,b≠0).2.空间两点间距离公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=.1.若a=(-1,0,2),b=(x,y,1),且a⊥b,则x=______.【解析】 ∵a⊥b,∴a·b=-x+2=0,解得x=2.【答案】 22.与向量a=(1,2,2)方向相同的单位向量是________.【解析】 |a|==3,故与a方向相同的单位向量是=(1,2,2)=.【答案】 [质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]求空间向量的数量积 已知长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积.(1)·;(2)·.【精彩点拨】 法一(基向量法):与,与的夹角不易求,可考虑用向量,,表示向量,,,,再求结论即可.法二(坐标法):建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积.【自主解答】 法一(基向量法):如图所示,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=b·=|b|2=42=16.(2)·=(+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.法二(坐标法):以A为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则B(2,0,0),C(2,4,0),E(1,0,1),D1(0,4,2),F(0,2,2),A(0,0,0),B1(2,0,2),∴=(0,4,0),=(-1,4,1),=(-2,2,2),=(2,0,2),(1)·=0×(-1)+4×4+0×1=16.(2)·=-2×2+2×0+2×2=0.解决此类问题的常用方法1.基向量法:首先选取基向量,然后用基向量表示相关的向量,最后利用数量积的定义计算.注意:基向量的选取要合理,一般选模和夹角都确定的向量.2.坐标法:对于建系比较方便的题目,采用此法比较简单,只需建系后找出相关点的坐标,进而得向量的坐标,然后利用数量积的坐标公式计算即可.[再练一题]1.在上述例1中,求·.【解】 法一:·=·=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.法二:以A为原点建立空间直角坐标系,则E(1,0,1),F(0,2,2),C1(2,4,2),∴=(-1,2,1),=(2,2,0),∴·=-1×2+2×2+1×0=2.利用数量积求夹角和距离 如图3­1­26所示,在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.(1)求AC′的长;(2)求与的夹角的余弦值.图3­1­26【精彩点拨】 求线段长,要利用向量的方法求解,关键是找到表示AC′的基向量,只要模与夹角均可知,则问题可求解,求夹角问题则是向量数量积的逆用.【自主解答】 (1)∵=++,∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+2(0+10+7.5)=85.∴||=.(2)法一:设与的夹角为θ,∵ABCD是矩形,∴||==5.由余弦定理可得cos θ===.法二:设=a,=b,=c,依题意得·=(a+b+c)·(a+b)=a2+2a·b+b2+a·c+b·c=16+0+9+4×5×cos 60°+3×5×cos 60°=16+9+10+=,∴cos θ===.1.求两点间的距离或某线段的长度,就是把此线段用向量表示,然后用|a|2=a·a,即|a|=通过向量运算求|a|.2.对于空间向量a,b,有cos〈a,b〉=.利用这一结论,可以较方便地求解异面直线所成角的问题,由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为,故〈a,b〉∈时,它们相等;而当〈a,b〉∈时,它们互补.[再练一题]2.如图3­1­27,正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设=a,=b,=c.(1)用a,b,c分别表示向量,;(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值.图3­1­27【解】 (1)=(+)=[(-)+(-)]=[(a-c)+(b-c)]=(a+b-2c),=(+)=[(-)-]=[(a-b)-b]=(a-2b).(2)设棱长为1,即|a|=|b|=|c|=1且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=,则||=||=.又·=(a+b-2c)·(a-2b)=(a2+a·b-2a·c-2a·b-2b2+4b·c)=-,∴cos〈,〉===-.∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为.利用数量积解决平行和垂直问题 已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分别求λ与m的值;(2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.【精彩点拨】 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解.【自主解答】 (1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),∴解得∴实数λ=,m=3.(2)∵|a|=,且a⊥c,∴化简,得解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).向量平行与垂直问题主要有两种题型1.平行与垂直的判断2.利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.[再练一题]3.如图3­1­28所示,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M是A1B1的中点.求证:A1B⊥C1M.图3­1­28【证明】 如图所示,以,,为正交基底,建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0,1,0),A1(1,0,2),,2),B1(0,1,2),则M,,2,于是=(-1,1,-2),=,∴·=-++0=0,∴⊥,故A1B⊥C1M.[探究共研型]空间向量数量积的运算特征探究1 数量积运算是否满足消去律?【提示】 对于三个不为0的实数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于三个非零向量a,b,c,若a·b=a·c,不能得出b=c,即向量不能约分.如图,在三棱锥S­ABC中,SC⊥平面ABC,则SC⊥AC,SC⊥BC.设=a,=b,=c,则a·b=a·c=0,但b≠c.探究2 数量积运算是否有除法?【提示】 数量积的运算不满足除法,即对于向量a,b,若a·b=k,不能得到a=,例如当非零向量a,b垂直时,a·b=0,但a=显然是没有意义的.探究3 数量积运算满足结合律吗?【提示】 由定义得(a·b)c=(|a||b|cos〈a,b〉)c,即(a·b)c=λ1c;a(b·c)=a(|b||c|cos〈b,c〉),即a(b·c)=λ2a,因此,(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 如图3­1­29,已知正四面体OABC的棱长为1.求:(1)·;(2)(+)·(+);(3)|++|.图3­1­29【精彩点拨】 在正四面体OABC中,,,的模和夹角都已知,因此可以先把相关向量用,,线性表示,再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可.【自主解答】 在正四面体OABC中,||=||=||=1,〈,〉=〈,〉=〈,〉=60°.(1)·=||||·cos∠AOB=1×1×cos 60°=.(2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+2·-2·+2-2·=12+2×-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1.(3)|++|===.[再练一题]4.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________. 【导学号:09390076】【解析】 由条件知,(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2+16a·b-15|b|2=0,及(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0.两式相减,得46a·b=23|b|2,∴a·b=|b|2.代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|.∴cos〈a,b〉===.∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=60°.【答案】 60°[构建·体系]1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为________.【解析】 ∵a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),∴(a+b)·(a-b)=-20-5+12=-13.【答案】 -132.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3).若a,b成120°的角,则k=_______。

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