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微积分微积分8-8-习题课习题课1 1、多元函数、多元函数一、主要内容一、主要内容2 2、多元函数的极限、多元函数的极限3 3、多元函数的连续性、多元函数的连续性4 4、偏导数、偏导数5 5、全微分、全微分说明：说明：（（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4 4、极限的运算、极限的运算5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次．至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次．于这两值之间的任何值至少一次．（（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质7 7、偏导数概念、偏导数概念８、高阶偏导数８、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.９、全微分概念９、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)　空间曲线的切线与法平面　空间曲线的切线与法平面(２２)　曲面的切平面与法线　曲面的切平面与法线切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为1515、方向导数、方向导数记为记为三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度的概念梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1616、多元函数的极值、多元函数的极值定义定义多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义　一阶偏导数同时为零的点，均称为多元　一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值．：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题二、典型例题例例解解证证令令则则同理同理不存在不存在.例例解解例例解解解解例例法法1 13 3个方程个方程, 4, 4个变量的方程组个变量的方程组, , 确定了确定了3 3个个1 1元函数元函数: :方程组两方程组两边对边对x求导求导解解 法法2 2方程组两边微分方程组两边微分, , 得得解解例例把把v看成常数，看成常数，u看成变量，得到曲面上的看成变量，得到曲面上的u曲线曲线同理同理,把把 u看成常数看成常数, v看成变量，得到曲面上的看成变量，得到曲面上的v曲线曲线 沿梯度方向的方向导沿梯度方向的方向导数为最大方向导数数为最大方向导数, , 其值为梯度的模其值为梯度的模.解解则则设曲面上的任意点为设曲面上的任意点为且在此点的且在此点的法向量法向量上的任意一点处的切平面上的任意一点处的切平面都过原点都过原点. .例例则则切平面方程为切平面方程为: :显然显然,(0,0,0),(0,0,0)满足切平面方程满足切平面方程上的任意一点处的切平面都过原点上的任意一点处的切平面都过原点. .例例解解拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. .法法1 1得得即得即得唯一驻点唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在根据题意距离的最小值一定存在, ,且有且有故必在故必在取得最小值取得最小值. .唯一驻点唯一驻点, , 设设P(x, y, z)为旋转抛物面为旋转抛物面 法向量法向量上的任一点上的任一点.法法2 2 例例 两种产品两种产品A1 ，， A2，，其年需要量分别为其年需要量分别为12001200件件和和20002000件件, ,分批生产分批生产, ,每批生产准备费分别为每批生产准备费分别为4040元元和和7070元元. . 每年每件产品的库存费为每年每件产品的库存费为0.150.15元元, ,按批按批量的一半收库存费量的一半收库存费, ,若两种产品的总生产能力为若两种产品的总生产能力为10001000件件, ,试确定最优批量试确定最优批量Q1 ，， Q2，，使生产准备费使生产准备费与库存费之和最小与库存费之和最小. .解解：总费用函数：总费用函数( ( 库存费与生产准备费的和库存费与生产准备费的和) )为为: :最优批量最优批量Q1 =369 ，，Q2 =631 ，，生产准备费与生产准备费与库存费之和最小库存费之和最小. .2002年考研数学年考研数学(一一), 7分分 例例 设有一小山设有一小山,取它的底面所在的平面为取它的底面所在的平面为xOy坐标坐标面面,其底部所占的区域为其底部所占的区域为 小山的高度函数为小山的高度函数为 (1) 设设M(x0 , y0)为区域为区域D上一点上一点,问问h(x, y)在该点在该点沿平面上什么方向的方向导数最大沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数若记此方向导数的最大值为的最大值为g(x0 , y0),试写出试写出g(x0 , y0)的表达式的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说是说,要在要在D的边界线的边界线上找出使上找出使(1)中中的的g(x, y)达到最大值的点达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置试确定攀岩起点的位置.也就也就解解 (1) 由梯度的几何意义知由梯度的几何意义知, 方向的方向导数最大方向的方向导数最大,h(x, y)在点在点M(x0 , y0)处沿梯度处沿梯度方向导数的最大值为该方向导数的最大值为该梯度的模梯度的模, 所以所以 (2) 令令由题意由题意,只需求只需求在约束条件在约束条件下的最大值点下的最大值点.令令则则(1)(2)(3)(1) + (2):从而得从而得由由(1)得得再由再由(3)得得由由(3)得得于是得到于是得到4个可能的极大值点个可能的极大值点可作为攀登的起点可作为攀登的起点.练习题练习题DBBCA。