
2014年11月初二潜能班第七讲:平面直角坐标系(2)学生(JS).doc
8页《2014年11月第七讲:平面直角坐标系(2)学生》第 8 页 共 8 页(JS) 雨露八年级上数学创造性学习潜能开发班第七讲 平面直角坐标系【核心内容】1.坐标变换:设原坐标为A(x,y)①平移变换:向左平移个单位后的坐标为 ;向右平移个单位后的坐标为 . 向上平移个单位后的坐标为 ;向下平移个单位后的坐标为 .②轴对称变换: 关于x轴的对称点是 ;关于y轴的对称点是 .③中心对称变换:关于原点的中心对称点是 .④仿射变换:横向拉长n倍后的坐标 .纵向拉长n倍后的坐标 .2.图形的平移:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点 或 ;将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点 或 .注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
3.图形的放大与缩小:纵坐标不变,横坐标都变为原来的K倍,则整个图形将被 为原来的 ;横坐标不变,纵坐标都变为原来的K倍,则整个图形将被 为原来的 ;(K 时为拉长; 为缩短)4.利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下:(1)建立坐标系,选择一个适当的参照物为原点,并确定x轴和y轴的正方向.(2)根据具体问题确定适当的比例尺,标出单位长度;(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.5.格点与面积:一张方格纸上,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是所谓格点.网格中求图形面积常运用 .【思维体验】一、点位置的确定与数形结合【例1】如果点M在第二象限,那么点N关于原点的对称点P在第几象限?【点拨】由M在第二象限能得到什么结论?能否判断点N所在的象限,再根据N与P关于原点对称确定出点P的位置.【解答】 【反思与小结】(1)解法一根据 的特征判断,的正、负情况,进而得到点N所在象限;(2)解法二根据M、N的坐标特点得到 ,得到点N所在象限.(3)有序实数对与坐标上的点 ,这就使得数与形结合起来.解题时可根据条件,运用数形结合的思想灵活解题.二、全等变换与坐标系的综合应用【例2】如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列、、、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称;点与点关于点A对称,点与点关于点B对称,点与关于点O对称,点与点关于点A对称,点与点关于点B对称,点与点关于点O对称,….对称中心分别是A、B、O、A、B、O,…,且这些对称中心依次循环.已知点的坐标是,试求出点、和的坐标.例2图【点拨】对点进行实验操作探究,求出点、、、、、、…、等部分点的坐标,寻找系列点坐标之间的规律,得到解答.【解答】 【反思与小结】在平面直角坐标系中,与点的坐标有关的探索问题中点的变化一般都是有周期性变化【例3】(1)点A的坐标为(1,3),将线段OA绕着原点O逆时针旋转90°得到,求点的坐标(2)点A的坐标为(1,3),将线段OA绕着原点O顺时针旋转90°得到,求点的坐标一般地:(3)点A的坐标为(x,y),将线段OA绕着原点O逆时针旋转90°得到,求点的坐标(4)点A的坐标为(x,y),将线段OA绕着原点O顺时针旋转90°得到,求点的坐标(5)正方形OABC的边长为2,点A(2,0),点B(2,2),将正方形OABC绕着原点O逆时针旋转30°得到正方形,求正方形的顶点、、的坐标【点拨】能否通过作图找到规律?例4图【反思与小结】点绕着原点O逆时针旋转90°得到;点绕着原点O顺时针旋转90°得到;点绕着原点O旋转180°得到。
例4】点A(1,5)、B(5,2),如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形.试求M、N点的坐标.(其中M、N为网格中的点)【点拨】要求M,N的坐标,根据平行四边形的性质知可以看成将点B平移到x轴上的M点后作平行而得到的点N,思考如何将点M平移x轴上?(或者将点A平移到y轴上的点N后作平行而得到的点M).【解答】【反思与小结】本题构造平行四边形实质上是线段在坐标系中的平移问题,在坐标系中的平移一般是看成沿着坐标轴平移,关注线段在平移过程中的分类讨论.例5题图1【例5】(1)在平面直角坐标系中,矩形OABC,A(8,0),C(0,6),将矩形OABC绕着原点逆时针旋转30°,得到矩形,求、、的坐标【点拨】要求旋转后的点的坐标,由于旋转的30°,能否将其转化成直角三角板的问题解决?如何转化?【解答】【反思与小结】对于坐标系中旋转特殊角(30°、45°、60°等)的求点的坐标的问题,一般将其转化成特殊三角形的问题解决本例就是通过作坐标轴的平行线将求点的坐标转化成特殊直角三角形的问题来解决的.【例5】(2)在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,6),将△AOB沿着直线AB对折得到△AB,连结交AB于C,过点作E⊥OA于E,求点的坐标例5题图2【点拨】“分析法”要求对折后的点的坐标,只要求出OE、E的长度即可.E是点到OA的距离,能否将其转化成三角形的高的问题来解决?或者应用勾股定理解决?【解答】【反思与小结】对于对折求点的坐标问题,一般将其转化成直角三角形的问题解决。
而解决直角三角形的问题,现在一般采用“面积法”和“勾股定理法”以及将来学习的“相似法”、“三角函数法”本例主要应用“面积法”和“勾股定理法”来解答例5】【举一反三】矩形ABCD在坐标系中,A,C,B、D分别在轴、轴上,将矩形ABCD沿着AC对折,点B落在处,(1)求点处的坐标;(2)若点M、N分别是AC、AB上的动点,求BM+MN的最小值;【点拨】对于(1),仿照例5(2)可求;对于(2),“综合分析法”要求BM+MN的最小值,观察B、的位置关系,实际上可以将BM转化成M,只要让M+MN最小即可,如何使得M+MN最小?最小是多少?【解答】【反思与小结】对于双动点的最值求法的策略是:将双动点转化成单动点本例要求最值,只要将B转化成,再进一步应用点到直线垂线段最短即可例6图【例6】在坐标系中,△AOB中,,,,点D、E的坐标分别是、,以D、E、F为顶点的三角形与△AOB全等,试探求点F的坐标.【点拨】观察△AOB各边长以及特殊角的度数,由△DEF与△AOB全等,DE与△AOB的哪条边对应?再根据对应角相等进行分类解答.【解答】【反思与小结】在坐标系根据全等变换探究点的位置,是中考和竞赛中的一种重要题型,解决此类问题的关键是找准对应的边或者对应的特殊角进行分类解答.三、实际问题中坐标化问题的探究【例7】在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定,正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形,边长为1的正方形内部有1个整点,边长为2的正方形内部有1个整点,边长为3的正方形内部有9个整点,求边长为的正方形内部的整点的个数(其中为正整数)【点拨】能否找到规律?【解答】例8图【反思与小结】本题在寻找规律时,要对为奇数和偶数分类讨论。
例8】在中国象棋盘中,棋子“马”的位置如图所示,若将“马”跳20步(马跳“日”字),则最后一步“马”落在棋盘上的不同位置可能有A.40个 B.45个 C.50个 D.90个【点拨】首先将棋盘坐标化.根据“马”跳的规则进行实验探究,观察“马”从一个位置跳到另一个位置横纵坐标的变化,从中找到规律.寻找所有的可能,进行解答.【解答】【反思与小结】中国象棋博大精深,数学知识奥妙无穷.本题通过中国象棋中“马”走的路线的规则编拟了一道具有开放性的数学试题.这道试题启迪我们要关注身边的数学,要在玩中思考数学问题是否存在.【举一反三】如图,矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2015次相遇地点的坐标是A.(2,0) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-1,-1)四、特殊四边形的坐标化问题的探究【例9】正方形ABCD中,边长AB=6,E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH=BC,连结AF、BG、CH、DE,得到四边形IJKL,M是AC、BD的交点,以A为坐标原点,以AB为轴正方向,以AD为轴正方向建立坐标系如图,(1)当时,计算MJ的长度;(2)当时,计算MJ的长度;(3)当时,计算MJ的长度;(4)当时,计算MJ的长度;【点拨】思考一:“综合法”在正方形ABCD中,容易通过全等判断四边形IJKL的形状,同时能设法求出AF、BG的表达式,同时求出点J的坐标,根据正方形点M的坐标,进而求出MJ的长度;思考二:“分析法”要求MJ的长度,只要求出KJ的长度,要求KJ的长度,只要求出BJ、GK、BG的长度即可.求BJ、GK可以转化成直角三角形中利用勾股定理和面积法解决.【解答】【反思和与小结】本例是以2014年重庆中考数学题为背景,由几位老师在集体备课时形成的。
对于特殊几何图形的问题(尤其是正方形、矩形、正三角形、等腰直角三角形等,在非坐标系的情形中,思考建立坐标系,将几何求值问题转化成代数中方程(组)、距离求值的问题本例利用坐标化,将初三解决困难的问题转化成坐标私中的问题,正体现了数学中转化思想的应用积累与小结】平面直角坐标系中的问题多数与其他几何中特殊三角形、四边形、全等、相似以及平移、旋转变换、代数中方程、方程组综合应用,而平面直角坐标系给我们最大的启示就是用“代数方法”解决“几何问题”,同时应用“几何图形的构造”解决“代数问题”,这是坐标系的灵魂所在在解决坐标系问题时,注意分类讨论的应用.【自我选择】1.已知点P(x,x+y)与点Q(2y,6)关于原点对称,求点P关于x轴对称的点M的坐标及点Q关于y轴对称的点N的坐标.2.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.(1)填写下列各点的坐标:;;;;;;;;(2)你能写出的坐标,【挑战自我】3题图3.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-2)、D(1,-2),把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A-B-C-D-A-…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一。
