高数同济52微积分的基本公式.ppt

二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 – 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位置函数已知位置函数与速度函数与速度函数之间有关系之间有关系:物体在时间间隔物体在时间间隔内经过的路程为内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则变上限函数则变上限函数证证:则有则有定理定理1. 若若说明说明:1) 定理定理 1 证明了证明了连续函数的原函数是存在连续函数的原函数是存在的的.2) 变限积分求导变限积分求导:同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路 .例例1. 求求解解:原式原式P240-8例例2. 确定常数确定常数 a , b , c 的值的值, 使使解解:原式原式 = c ≠0 , 故故又由又由～～, 得得例例3. 证明证明在在内为单调递增函数内为单调递增函数 . 证证:只要证只要证P239-7证证令令F( (x) )在在[ [0, ,1] ]上连续，且上连续，且三、牛顿三、牛顿 – 莱布尼兹公式莱布尼兹公式( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 证证: 根据定理根据定理 1,故故因此因此得得记作记作定理定理2.函数函数 , 则则例例5. 计算计算解解:例例6. 计算正弦曲线计算正弦曲线的面积的面积 . 解解:P238-4例例7 设设 , 求求 . 解解:例例8 求求 解解:由图形可知由图形可知解解:例例10. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解解: 设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶 , 其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车, 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离? 练习练习1练习练习2解解? ?练习练习1解解(2002)练习练习2解二解二内容小结内容小结则有则有1. 微积分基本公式微积分基本公式积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理牛顿牛顿 – 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2. 积分上限函数积分上限函数积分求导公式积分求导公式 作业作业P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12备用题解解：1.设求定积分为常数定积分为常数 ,设, 则故应用积分法定此常数故应用积分法定此常数 .2.求解解：的递推公式(n为正整数) . 由于因此所以其中。