傅里叶变换与系统的频域分析1课件.ppt

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-1页■电子教案电子教案第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 一、正交函数集一、正交函数集 二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数4.2 4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 一、周期信号的分解一、周期信号的分解 二、奇、偶函数的傅里叶级数二、奇、偶函数的傅里叶级数 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 一、周期信号的频谱一、周期信号的频谱 二、周期矩形脉冲的频谱二、周期矩形脉冲的频谱 三、周期信号的功率三、周期信号的功率4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 一、傅里叶变换一、傅里叶变换 二、奇异函数的傅里叶变换二、奇异函数的傅里叶变换点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 一、线性一、线性 二、奇偶性二、奇偶性 三、对称性三、对称性 四、尺度变换四、尺度变换 五、时移特性五、时移特性 六、频移特性六、频移特性 七、卷积定理七、卷积定理 八、时域微分和积分八、时域微分和积分 九、频域微分和积分九、频域微分和积分 十、相关定理十、相关定理4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 一、能量谱一、能量谱 二、功率谱二、功率谱第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-2页■电子教案电子教案第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦函数的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换 二、一般周期函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换 三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 一、频率响应一、频率响应 二、无失真传输二、无失真传输 三、理想低通滤波器的响应三、理想低通滤波器的响应4.9 4.9 取样定理取样定理 一、信号的取样一、信号的取样 二、时域取样定理二、时域取样定理 三、频域取样定理三、频域取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析 一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 二、非周期序列的离散时间傅里叶二、非周期序列的离散时间傅里叶 变换变换(DTFT)4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质 一、离散傅里叶变换一、离散傅里叶变换(DFT) 二、离散傅里叶变换的性质二、离散傅里叶变换的性质第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-3页■电子教案电子教案第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析 法国数学家、物理学家。

法国数学家、物理学家1768年年3月月21日生于日生于欧塞尔，欧塞尔，1830年年5月月16日卒于巴黎日卒于巴黎 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数的无穷级数 1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对证之一，对1919世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响傅傅里叶分析等理论均由此创始里叶分析等理论均由此创始傅里叶级数（即三角级数）、（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析其他贡其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。

和实根个数的判别法等 傅里叶简介傅里叶简介信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-4页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析的要点时域分析的要点是，以是，以冲激函数冲激函数为为基本信号基本信号，任意，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf (t) = h(t)*f(t) 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号e jωt为为基本信号基本信号，任，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和数信号之和 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率故称为频域频域分析分析 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其其内积内积为为0即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-5页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为称为正交矢量集。

正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（（2，，0，，0）、）、vy=（（0，，2，，0）、）、vz=（（0，，0，，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集 例如例如对于一个三维空间的矢量对于一个三维空间的矢量A =(2，，5，，8)，可以用，可以用一个三维正交矢量集一个三维正交矢量集{ vx，，vy，，vz}分量的线性组合表示分量的线性组合表示即即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间空间：在信：在信号空间找到若干个号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-6页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-7页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，，t2)区间的两个函数区间的两个函数  1(t)和和  2(t),若满足若满足 (两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称  1(t)和和  2(t) 在在区间区间(t1，，t2)内内正交正交。

2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数  1(t)，，   2(t)，，…，，   n(t)构成一个函数构成一个函数集，当这些函数在区间集，当这些函数在区间(t1，，t2)内满足内满足 则称此函数集为在则称此函数集为在区间区间(t1，，t2)上的上的正交函数集正交函数集 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-8页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集{ 1(t)，，   2(t)，，…，，   n(t)}之外，不存在任何函数之外，不存在任何函数  (t)(≠0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集例如：例如：三角函数集三角函数集{1，，cos(nΩt)，，sin(nΩt)，，n=1,2,…} 和和虚指数函数集虚指数函数集{ejnΩt，，n=0，，±1，，±2，，…}是两组典型的在是两组典型的在区间区间(t0，，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集上的完备正交函数集。

i =1，，2，，…，，n)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-9页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数  1(t)，，   2(t)，，…，，   n(t)在区间在区间(t1，，t2)构成一个正交函数空间将任一函数构成一个正交函数空间将任一函数f(t)用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，可表示为正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n 问题：问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误差在区间区间(t1，，t2)内为最小内为最小 通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小均方最小均方误差为：误差为： 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-10页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有 展开上式中的被积函数，并求导。

上式中只有两项展开上式中的被积函数，并求导上式中只有两项不为不为0，写为：，写为： 即：即： 所以系数所以系数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-11页■电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数时，所取得项数越多越多，即，即n越大，则均方误差越大，则均方误差越小越小当n→∞时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零此时有集），均方误差为零此时有 上式称为上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（公式）帕斯瓦尔方程（公式），表明：，表明：在区间在区间(t1,t2)，， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和数集中分解的各正交分量能量的总和 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-12页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当，当满足满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下条件时，它可分解为如下三角级数三角级数—— 称为称为f(t)的的傅里叶级数。

傅里叶级数 系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数的奇函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-13页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0 = a0 上式上式表明表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量周期信号可分解为直流和许多余弦分量 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量；； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原，它的角频率与原周期信号相同；周期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数，  n是是n的奇函数的奇函数 an = Ancos n，， bn = –Ansin  n，，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-14页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例1：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。

展开为傅里叶级数解：解：考虑到考虑到Ω=2π/T，可得：，可得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-15页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号的傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-16页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-17页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-18页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-19页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-20页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数——对称纵坐标对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。

展开为余弦级数2 . .f(t)为奇函数为奇函数——对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数展开为正弦级数 实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两都可分解为奇函数和偶函数两部分，即部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-21页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时，其傅里叶级数中只含奇此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：量即：a0=a2=…=b2=b4=…=0 4 . .f(t)为偶谐函数为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2) 此时，其傅里叶级数中只含偶此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分次谐波分量，而不含奇次谐波分量即量即 a1=a3=…=b1=b3=…=0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-22页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用常感不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。

可的傅里叶级数可从三角形式推出：利用从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 上式中第三项的上式中第三项的n用用–n代换，代换，A– n=An，， – n= –  n，，则上式写为则上式写为 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-23页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令令A0=A0 e j 0 e j0 t ，， 0=0 所以所以令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数简称傅里叶系数 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-24页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 n = 0, ±1, ±2，，… 表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数可分解为许多不同频率的虚指数信号之和信号之和 Fn 是频率为是频率为n 的分量的的分量的系数，系数，F0 = A0/2为为直流分量直流分量信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-25页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。

求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-26页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数指数型傅里叶级数为：指数型傅里叶级数为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-27页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化随信号频率变化的关系，称为的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An~ω和和 n~ω的关系分别画在以的关系分别画在以ω为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱相位频谱图图。

因为因为n≥0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱 也可画也可画|Fn|~ω和和 n~ω的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-28页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率Ω，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率的平均功率解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量是该信号的直流分量的周期的周期T1 = 8的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率Ω=2π/T = π/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-29页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是是f(t)的的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；次谐波分量； 是是f(t)的的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-30页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。

求频谱如图所示 令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数取样函数）） 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-31页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱, n = 0 ,±1，，±2，，… Fn为实数，可直接画成一个频谱图设为实数，可直接画成一个频谱图设T = 4τ画图零点为零点为所以所以，，m为整数特点特点：： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性谱线位性谱线位置是基频置是基频Ω的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性总趋势减小一般具有收敛性总趋势减小信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-32页■电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变两零点之（谱线间隔）不变两零点之间的谱线数目：间的谱线数目： 1/ =（（2 / ））/(2 /T)=T/  增多b)  一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。

幅度减小减小，频谱变密幅度减小 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡就过渡到非周期信号的到非周期信号的连续频谱连续频谱各频率分量的幅度也趋近于各频率分量的幅度也趋近于无穷小 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-33页■电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、周期信号的功率三、周期信号的功率——Parseval等式等式含义：含义：直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功电阻上消耗的平均功 率之和周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在 频域中求得的信号功率相等频域中求得的信号功率相等信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-34页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱——傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T→∞时的周期信号。

时的周期信号 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别间仍有差别 为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的的概念令 (单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(jω)为频谱密度函数为频谱密度函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-35页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：考虑到：T→∞，，Ω→无穷小，记为无穷小，记为dω；； n Ω→ ω（由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时，∑ →∫于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式“+”F(jω)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱f(t)称为称为F(jω)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。

根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-36页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)]或或 f(t) ←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j  (ω) = R(ω) + jX(ω) 说明：说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-37页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t) = e– tε(t)，，   >02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = e–t  ,   >0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-38页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4. 冲激函数冲激函数 (t)、、 ´(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-39页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，， (t) 等，但傅里叶变换却存在。

直接用定义式不好求解等，但傅里叶变换却存在直接用定义式不好求解 可构造一函数序列可构造一函数序列{fn(t)}逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变的傅里叶变换所形成的序列换所形成的序列{Fn(j )}是极限收敛的则可定义是极限收敛的则可定义f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F (j )为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-40页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t  ，， > 0←→ 所以所以又又因此，因此， 1←→21←→2( ( ) ) 另一种求法另一种求法：：  (t)←→1(t)←→1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 →t→t，，t→-t→- 再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-41页■电子教案电子教案6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7. 阶跃函数阶跃函数 (t)构造信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-42页■电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：δ(t)ε(t) e - - t ε(t) gτ(t) sgn (t) e – |t| ε(t) 1 12πδ(ω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-43页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)Proof:thenIf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-44页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F( jω) = ?Ans: f (t) = f1(t) – g2(t)f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)g2(t) ←→ 2Sa(ω)∴∴ F( jω) = 2πδ(ω) - - 2Sa(ω)‖- -信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-45页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶性二、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thenSo that(1) R(ω)= R(–ω) , X(ω) = – X (–ω) |F(jω)| = |F(– jω)| ,   (ω) = –  (–ω)(2) If f(t) = f(-t) ,then X(ω) = 0, F(jω) = R(ω) If f(t) = -f(-t) ,then R(ω) = 0, F(jω) = jX(ω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-46页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)If f (t) ←→F(jω) thenProof:（（1））in (1) t →ω，，ω→t then （（2））in (2) ω → - -ω then∴∴ F( jt) ←→ 2πf (–ω) endF( jt ) ←→ 2πf (–ω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-47页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example←→ F(jω) = ?Ans:if α=1,∴∴信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-48页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) ←→F(jω) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F [ f (a t ) ] =For a > 0 ,F [ f (a t ) ]for a < 0 ,F [ f (a t ) ]That is ,f (a t ) ←→ Also,letting a = - -1,f (- t ) ←→ F( - -jω) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-49页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example f(t) = ←→ F(jω) = ?Ans:Using symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-50页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Time shifting Property)If f (t) ←→F(jω) thenwhere “t0” is real constant.Proof: F [ f (t – t0 ) ] 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-51页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(jω) = ? f1(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5) g6(t - 5) ←→g2(t - 5) ←→∴∴ F(jω) =‖+Ans: f (t) = f1(t) + f2(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-52页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example Given that f (t)←→F( jω), find f (at – b) ←→ ?Ans: f (t – b)←→e - -jωb F( jω)f (at – b) ←→orf (at) ←→f (at – b) =信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-53页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) ←→F(jω) thenProof:where “ω0” is real constant.F [e jω0t f(t)]= F[ j(ω- -ω0)] endFor example 1f(t) = ej3t ←→ F(jω) = ?Ans: 1 ←→ 2πδ(ω) ej3t ×1←→ 2πδ(ω- -3)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-54页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = cosω0t ←→ F(jω) = ?Ans:F(jω) = π[δ(ω-ω0)+ δ(ω+ +ω0)]For example 3Given that f(t) ←→ F(jω) The modulated signal f(t) cosω0t ←→ ? 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-55页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积定理七、卷积定理(Convolution Property)1、、Convolution in time domain：：If f1(t) ←→F1(jω)，， f2(t) ←→F2(jω)Then f1(t)*f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)2、、Convolution in frequency domain：：If f1(t) ←→F1(jω)，， f2(t) ←→F2(jω)Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-56页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:Using time shiftingSo that,信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-57页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For exampleAns:Using symmetry,信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-58页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) ←→F(jω) then Proof:f(n)(t) =  (n)(t)*f(t) ←→(j ω)n F(jω) f(- -1)(t)=  (t)*f(t) ←→信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-59页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2 ←→?For example 1Ans:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-60页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f  (t)←→ F1(jω)Prooff (t)←→ F1(jω) +  [f(-∞)+ f(∞)] ( )ProofSoSummary: if f (n)(t)←→ Fn(jω)，，and f(-∞)+ f(∞) = 0 Then f (t)←→ F (jω) = Fn(jω)/ (jω)n信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-61页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3Determine f (t)←→ F (jω)Ans:f ”(t) =  (t+2) – 2  (t) +  (t –2)F2(jω)= F [f ”(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2 F (jω) =Notice:dε(t)/dt =  (t) ←→ 1ε(t) ←╳╳→ 1/(jω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-62页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) ←→F(jω) then (–jt)n f (t) ←→F(n)( jω) whereFor example 1Determine f(t) = tε(t) ←→ F (jω)=?Ans:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-63页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice: tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→It’s wrong. Because  ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2DetermineAns:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-64页■电子教案电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质十、相关定理十、相关定理(Correlation Theorem)Ifthen Proof: 两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这就是就是相关定理相关定理。

对自相关函数：对自相关函数：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-65页■电子教案电子教案4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱一、能量谱一、能量谱1. 信号能量的定义：信号能量的定义：时间（时间（-∞, ∞）区间上信号的能量区间上信号的能量 信号信号(电压或电流电压或电流)f(t)在在1Ω电阻上的瞬阻上的瞬时功率功率为|f(t)|2,在区间（在区间（-T, T）的能量为）的能量为 如果信号能量有限，即如果信号能量有限，即0

能量频谱能量频谱E (ω)定义为单位频率的信号能量定义为单位频率的信号能量信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-68页■电子教案电子教案例例1：：计算信号的能量计算信号的能量 解解:4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱由由相关定理相关定理：：信号的能量谱信号的能量谱E (ω) 与自相关函数与自相关函数R(ττ)是一对傅里叶是一对傅里叶变换变换 信号的能量谱信号的能量谱E (ω) 是是ω的偶函数，它只取决于的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关频谱函数的模量，而与相位无关单位：单位：J·s信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-69页■电子教案电子教案4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱二、功率谱二、功率谱 由信号能量和功率的定义可知，若信号能量由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有有限，则限，则P=0；若信号功率；若信号功率P有限，则有限，则E=∞1. 信号功率：信号功率：定义为时间（定义为时间（-∞, ∞）区间上信号）区间上信号f(t)的的 平均功率，用平均功率，用P表示。

表示 如果信号功率有限，即如果信号功率有限，即0

极限比比较得：得：2. 功率密度谱：功率密度谱：类似于能量密度似于能量密度谱，定，定义功率密度功率密度谱 函数函数P (ω) 为单位位频率的信号功率从而平均功率：率的信号功率从而平均功率：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-72页■电子教案电子教案4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 信号的功率谱信号的功率谱P (ω) 是是ω的偶函数，它只取决于的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关频谱函数的模量，而与相位无关单位：单位：W·s自相关函数：自相关函数：3. 功率密度谱与自相关函数的关系：功率密度谱与自相关函数的关系： 若若f1(t)和和f2(t)是是功率有限信号功率有限信号，此时相关函数的，此时相关函数的定义为：定义为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-73页■电子教案电子教案4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱两边取傅里叶变换，得：两边取傅里叶变换，得：比较前面推导：比较前面推导：功率有限信号的功功率有限信号的功率谱函数率谱函数P (ω) 与与自相关函数自相关函数R(ττ)是一是一对傅里叶变换。

对傅里叶变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-74页■电子教案电子教案4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 1←→2πδ(ω)由频移特性得由频移特性得 e j ω0 t ←→ 2πδ(ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω0 ) cos(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/2 ←→ π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )]sin(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/(2j) ←→ jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )]信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-75页■电子教案电子教案4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= 解解：：(1)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-76页■电子教案电子教案4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。

周期信号如图，求其傅里叶变换解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的的周期拓展即周期拓展即f(t) =  T(t)* f0(t) F(jω) = Ω Ω(ω) F0(jω) F(jω) =本题本题 f0(t) = g2(t)←→(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-77页■电子教案电子教案4.7 4.7 复习：傅里叶变换复习：傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：δ(t)ε(t) e - - t ε(t) gτ(t) sgn (t) e – |t| ε(t) 1 12πδ(ω)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-78页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。

率的虚指数函数之和对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej  t一、基本信号一、基本信号ej  t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明说明：频域分析中，信号的定义域为：频域分析中，信号的定义域为(–∞，，∞)，而，而t= – ∞总可认为系统的状态为总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状，因此本章的响应指零状态响应，常写为态响应，常写为y(t) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-79页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率ω的基本的基本信号信号ej  t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j  )，常称为系统的频率响应函数所以：，常称为系统的频率响应函数所以：y(t) = H(j  ) ej  tH(j  )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。

的幅度和相位y(t) = h(t)* ej  t信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-80页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej  tH(j  ) ej  tF(j  ) d   ej  tF(j  )H(j  ) d   ej  t齐次齐次性性可加可加性性‖f(t)‖y(t) =F –1[F(j  )H(j  ) ]Y(j  ) = F(j  )•H(j  )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-81页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变换换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即  H(j ) 称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；θ(θ( ) )称为称为相相频特性频特性（或（或相频响应相频响应）。

 H(j ) 是是 的偶函数，的偶函数，θθ( )是是 的奇函数的奇函数 频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-82页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数分析法：对周期信号还可用傅里叶级数分析法：周期信号周期信号若若则则可推导出可推导出信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-83页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：某：某LTI系统的系统的 H(j ) 和和θ(θ( ) )如图，如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应求系统的响应解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j ) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)]+ 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)]Y(j ) = F(j )H(j ) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5 5) + δ(ω+5) H(-j5 5)]+ 4π[δ(ω–10) H(j1010) + δ(ω+10) H(-j1010) ]H(j )= = H(j ) e jθ( )= 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ]y(t) = F-1[Y(j ) ]= 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-84页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数分析法求解：用三角傅里叶级数分析法求解f(t)的基波角频率的基波角频率 Ω=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt)H(0) =1，， H(jΩ) = 0.5e-j0.5π，， H(j2Ω) = 0y(t) = 2 + 4×0.5cos(Ωt – 0.5π) = 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-85页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F [h(t)] 2. H(j ) = Y(j )/F(j )(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。

由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换2)由电路直接求出由电路直接求出 例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y´(t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-tε(t)时的响应时的响应y(t)解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-86页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析f(t) = e-tε(t)←→Y(j ) = H(j )F(j )y(t) = (e- -t – e- -2t )ε(t) 例例2：如图电路，：如图电路，R=1Ω，，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)= e- -t ε(t) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-87页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传信号的传输输，一类是，一类是滤波滤波。

传输要求信号尽量不失真，而滤波则传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真 1、无失真传输、无失真传输 （（1））定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比，只有输入信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同同，而没有波形上的变化即，而没有波形上的变化即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(t–td) 其频谱关系为其频谱关系为 Y(j )=Ke – j tdF(j ) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-88页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，，H(j )的要求是：的要求是： (a)对对h(t)的要求的要求：： h(t)=K (t – td) (b)对对H(j )的要求的要求：： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即即  H(j ) =K ,θθ( )= –  td 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。

当传输有限带宽条件当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可相频特性满足以上条件即可 (2)无失真传输条件无失真传输条件：：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-89页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：系统的幅频特性：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列所示，则下列信号通过该系统时，信号通过该系统时，不产生失真的是不产生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-90页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性具有如图所示幅频、相频特性的系统称为的系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。

 c称为截止角频率称为截止角频率 理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应可写为：可写为： (1)冲激响应冲激响应 h(t)= ℱ- -1[g 2  c( )e)e-j-j t td d] =可见，它实际上是可见，它实际上是不可实现的非因果系统不可实现的非因果系统 (why?)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-91页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)* (t)= 经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明显失真，只要：有明显失真，只要 c<∞，则必有振荡，其过冲，则必有振荡，其过冲比稳态值高约比稳态值高约9%这一由频率截断效应引起的振荡现这一由频率截断效应引起的振荡现象称为象称为吉布斯现象吉布斯现象gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-92页■电子教案电子教案4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激，其冲激响应在响应在t<0时必须为时必须为0，即，即 h(t)=0 ,t<0 即即 响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。

就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证证明了物理可实现的幅频特性必须满足明了物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利佩利-维纳准则维纳准则必要条件必要条件））从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带，但不能在某个有限频带内为内为0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-93页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理4.9 4.9 取样定理取样定理 取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用全可以用离散样本值离散样本值表示这些样本值包含了该连续表示这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号可以说，取样定理可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁一座桥梁为其互为转换提供了理论依据。

为其互为转换提供了理论依据 一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的过程 这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-94页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理如图一连续信号如图一连续信号f(t)用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(开关函数开关函数））进行取样，进行取样，取样间隔取样间隔为为TS，，fS =1/TS称为称为取样频率取样频率得取样信号得取样信号 fS(t) = f(t)s(t)取样信号取样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为 FS( j )=(1/2 )F( j )*S( j )信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-95页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理冲激取样冲激取样 若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 Ts(t),则称为则称为冲激取样冲激取样。

如果如果f(t) 是是带限信号带限信号 [即即f(t)的频谱只在区间的频谱只在区间（（- -  m，， m)为有限值，而其余区间为为有限值，而其余区间为0 设设f(t)←→F(j )，取样信号，取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数 FS(j )= (1/2 )F(j )* ωS  ωs(ω) ωS =2π/TSs(t)=s(t)= Ts(t) ←→ωS  ωs(ω) 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-96页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理×=*=上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定的频谱时，设定ωS ≥2≥2ωm , ,这时这时其频谱其频谱不发生混叠不发生混叠，因此能设法，因此能设法( (如利用低通滤波器如利用低通滤波器) )，，从从FS(j )中取出中取出F(j )，即，即从从fS(t)中恢复原信号中恢复原信号f(t)否则将发生混叠，而无法恢复原信号则将发生混叠，而无法恢复原信号信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-97页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理二、时域取样定理二、时域取样定理当当ωS ≥2≥2ωm 时，将取样信号通过下面的低通滤波器时，将取样信号通过下面的低通滤波器其截止角频率其截止角频率ωC取取ωm < <ωC < <ωS - -ωm 。

即可恢复原信即可恢复原信号由于由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) H(j ) ←→ h(t) =为方便，选为方便，选ωC = 0.5= 0.5ωS , ,则则TsTsωC /π=1 /π=1 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-98页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以所以根据根据f(t)=fS(t)*h(t) ，有，有只要已知各取样值只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号就出唯一地确定出原信号f(t) 时域取样定理时域取样定理：： 一个频谱在区间（一个频谱在区间（- m，， m)以外为以外为0的带限信号的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔可唯一地由其在均匀间隔Ts [Ts<1/(2fm)] 上的样值点上的样值点f(nTs)确定 注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1））f(t)必必须是带限信号须是带限信号；（；（2））取样频率不能太低，必须取样频率不能太低，必须fs>2fm，，或者说，或者说，取样间隔不能太大，必须取样间隔不能太大，必须Ts<1/(2fm);否则否则将发生混叠。

将发生混叠 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-99页■电子教案电子教案 通常把最低允许的取样频率通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为称为奈奎斯特奈奎斯特（（Nyquist)频率频率，把最大允许的取样间隔，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 频域取样定理频域取样定理：：根据根据时域与频域的对偶性时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理可推出频域取样定理 一个在时域区间（一个在时域区间（- -tm,tm)以外为以外为0的的时限信号时限信号f(t)的的频谱函数频谱函数F(j )，可唯一地由其在均匀频率间隔，可唯一地由其在均匀频率间隔fs[fs<1/(2tm)]上的样值点上的样值点F( jn s)确定 4.9 4.9 取样定理取样定理信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-100页■电子教案电子教案例例1 有限频带信号有限频带信号f1(t)的最高频率为的最高频率为ωm1( fm1 ) ，，f2(t)的最高频率为的最高频率为ωm2 ( fm2 ) ，对下列信号进行时域抽样，，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间与奈奎斯特间隔隔Ts。

4.9 4.9 取样定理取样定理信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-101页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理解：解：所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-102页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-103页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-104页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-105页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-106页■电子教案电子教案例例24.9 4.9 取样定理取样定理解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-107页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理由由对称性对称性可知：可知：所以：所以：此外：此外：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-108页■电子教案电子教案4.9 4.9 取样定理取样定理所以：所以：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-109页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数（一、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）） 具有周期性的离散时间信号可以表示为具有周期性的离散时间信号可以表示为fN(k),其下其下标标N表示其周期为表示其周期为N，即有，即有 对于连续时间信号，对于连续时间信号，周期信号周期信号fT(t) 可以分解为一可以分解为一系列角频率为系列角频率为nΩ(n=1, ±1, ±2, · · ·) 的虚指数的虚指数e jnΩt (其中其中Ω=2π/T为基波角基波角频率率)之和。

之和 类似地，类似地，周期为周期为N的序列的序列fN(k)也可展开为许多虚指也可展开为许多虚指数数e jnΩk=e jn（（2π/N））k （其中（其中Ω=2π/N 为基波数字角频率为基波数字角频率））之和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-110页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析需要注意的是，这些虚指数序列满足需要注意的是，这些虚指数序列满足即它们也是周期为即它们也是周期为N的周期序列的周期序列因此，周期序列因此，周期序列fN(k)的傅里叶级数展开式仅为有限项的傅里叶级数展开式仅为有限项（（N项），若取其第一个周期项），若取其第一个周期n=0,1,2,…,N-1，则，则fN(k) 的展开式可写为的展开式可写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-111页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析称为称为离散傅里叶系数离散傅里叶系数称为称为周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数为书写方便，令为书写方便，令并用并用DFS[·]表示离散傅里叶系数（正变换），以表示离散傅里叶系数（正变换），以IDFS[·]表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），则有表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），则有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-112页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析例例1：：求图示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式。

求图示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式解：解：取求和范围为取求和范围为[0,3]信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-113页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析所以，离散傅里叶级数展开式为所以，离散傅里叶级数展开式为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-114页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析二、非周期序列的离散时间傅里叶变换二、非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 与连续时间信号类似，周期序列与连续时间信号类似，周期序列fN(k)在周期在周期N→∞时，将，将变成非周期序列成非周期序列f(k),同时同时FN(n)的谱线间隔的谱线间隔(Ω＝＝2π /N)趋于无穷小，成为连续谱趋于无穷小，成为连续谱 当当N→∞时，，nΩ＝＝ n( 2π/N)趋于连续变量趋于连续变量θθ(数字角数字角频率频率, ,单位为单位为radrad)定义非周期序列定义非周期序列f(k)的的离散时间傅离散时间傅里叶变换里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT) 为为: 可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换F(e jθθ) )是是θ的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为2π。

通常它是复函数，可表示通常它是复函数，可表示为：：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-115页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析定义非周期序列定义非周期序列f(k)的的离散时间傅里叶逆变换为离散时间傅里叶逆变换为: (Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT) 通常用以下符号表示对序列通常用以下符号表示对序列f(k)求离散时间傅里叶求离散时间傅里叶正变换和逆变换正变换和逆变换:离散时间傅里叶变换存在的充分条件是离散时间傅里叶变换存在的充分条件是f(k)要满足绝对要满足绝对可和，即可和，即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-116页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析例例2：：求下列序列的离散时间傅里叶变换求下列序列的离散时间傅里叶变换解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-117页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-118页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析f2(k)的频率特性为的频率特性为:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-119页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质 离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列实现，然而序列f(k)的的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)是连是连续函数，而其逆运算为积分运算，因此，无法直接用续函数，而其逆运算为积分运算，因此，无法直接用计算机实现。

显然，要在数字计算机上实现这些变换，计算机实现显然，要在数字计算机上实现这些变换，必须把连续函数改换为离散数据，同时，把求和范围必须把连续函数改换为离散数据，同时，把求和范围从无限宽收缩到一个有限区间从无限宽收缩到一个有限区间 离散傅里叶级数变换离散傅里叶级数变换(DFS)无论在时域还是在频域，无论在时域还是在频域，只对只对N项求和，故可以用数字计算机进行计算可以项求和，故可以用数字计算机进行计算可以借助离散傅里叶级数的概念，把有限长序列作为周期借助离散傅里叶级数的概念，把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理，从而定义了性离散信号的一个周期来处理，从而定义了离散傅里离散傅里叶变换叶变换(Discrete Fourier Transform，，DFT)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-120页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换（一、离散傅里叶变换（DFT）） 设长度为设长度为N的有限长序列的有限长序列f(k)的区间为的区间为[0,N-1]，，其余各处皆为零。

即其余各处皆为零即 为了引用周期序列的有关概念，我们将有限长序为了引用周期序列的有关概念，我们将有限长序列列f(k)延拓乘周期为延拓乘周期为N的周期序列的周期序列fN(k)，即，即 或者把有限长序列或者把有限长序列f(k)看成周期序列看成周期序列fN(k)的一个的一个周期，即周期，即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-121页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质 对于周期序列对于周期序列fN(k)，其第一个周期，其第一个周期k=0到到N-1的范的范围定义为围定义为“主值区间主值区间”，故，故f(k)可以看成可以看成fN(k)的主值的主值区间序列区间序列 设有限长序列的长度为设有限长序列的长度为N(在在k=0到到N-1的范围的范围)，则，则f(k)的离散傅里叶变换及其逆变换定义分别为的离散傅里叶变换及其逆变换定义分别为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-122页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质写成矩阵形式，即写成矩阵形式，即简记为简记为其中，其中，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-123页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质二、二、F(n)(DFT)与与FN(n) (DFS)的关系的关系 若将若将f(k)，，F(n)分别理解为分别理解为fN(k)，，FN(n)的主值序的主值序列，那么列，那么DFT变换对和变换对和DFS变换对的表达形式完全相变换对的表达形式完全相同。

实际上，同实际上，DFS是按照傅里叶分析严格定义的，而是按照傅里叶分析严格定义的，而有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换F(e jθθ) )是连续的、周期是连续的、周期为为2 2ππ的频率函数为了使傅里叶变换可以利用计算的频率函数为了使傅里叶变换可以利用计算机实现，人为地把机实现，人为地把f(k)延拓成周期序列延拓成周期序列fN(k)，， f(k)成成为主值序列为主值序列这样，将这样，将fN(k)的离散、周期性的频率函的离散、周期性的频率函数数FN(n)的主值序列定义为的主值序列定义为f(k)的离散傅里叶变换的离散傅里叶变换F(n) 所以，离散傅里叶变换所以，离散傅里叶变换(DFT)并非指对任意离散并非指对任意离散信号进行傅里叶变换，而是为了利用计算机对有限长信号进行傅里叶变换，而是为了利用计算机对有限长序列进行傅里叶变换而规定的一种专门运算序列进行傅里叶变换而规定的一种专门运算信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-124页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质三、三、F(n) (DFT)与与F(e jθ) (DTFT)的关系的关系 由于将有限长序列由于将有限长序列f(k)看作周期为看作周期为N的周期序列的周期序列fN(k)的主值序列，故的主值序列，故 与有限长序列傅里叶变换的定义进行比较得与有限长序列傅里叶变换的定义进行比较得：：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-125页■电子教案电子教案4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析例例3：：求图示矩形脉冲序列求图示矩形脉冲序列f(k)的离散傅里叶变换。

的离散傅里叶变换解：解：画出离散频谱画出离散频谱F(n)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-126页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质四、离散傅里叶变换的性质四、离散傅里叶变换的性质1.线性线性若若则对任意常数则对任意常数a、、b，有，有证明：证明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-127页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质2.对称性对称性若若则则证明：证明：将上式的将上式的n和和k互换，得到：互换，得到：可见：可见：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-128页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质3.时移特性时移特性若若则则定义：圆周移位定义：圆周移位(也称为循环移位，或简称为圆移位也称为循环移位，或简称为圆移位)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-129页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质有限长序列圆周移位图示有限长序列圆周移位图示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-130页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质证明：证明：若若则则时移特性的定理内容：时移特性的定理内容：所以：所以：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-131页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质4.频移特性频移特性若若则则 与连续时间信号类似，可以看作调制信号的频与连续时间信号类似，可以看作调制信号的频谱搬移，因而也称为谱搬移，因而也称为“调制定理调制定理”。

若时间序列乘以指数若时间序列乘以指数项项W-lk，则其离散傅，则其离散傅里叶变换就向右圆周里叶变换就向右圆周移位移位l单位信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-132页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质5.时域循环卷积（圆卷积）定理时域循环卷积（圆卷积）定理（（1））线卷积线卷积（（复习复习））若若则则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-133页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质例例1：计算如图所示：计算如图所示f1(k)和和f2(k)的卷积和的卷积和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-134页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质（（2）循环）循环卷积卷积循环卷积的图解步骤可按循环卷积的图解步骤可按反折、圆移、求和反折、圆移、求和的步骤进行的步骤进行 如果两序列的长度不等，可将长度较短的序列如果两序列的长度不等，可将长度较短的序列补一补一些零值点些零值点，构成两个长度相等的序列再做循环卷积。

构成两个长度相等的序列再做循环卷积 循环卷积的取值在主值区间，即循环卷积的取值在主值区间，即0≤m≤N-1，故循环卷，故循环卷积的结果仍为长度为积的结果仍为长度为N的有限长序列的有限长序列信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-135页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质例例2：计算如图所示：计算如图所示f1(k)和和f2(k)的循环卷积的循环卷积f(k)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-136页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质（（3）线卷积和循环）线卷积和循环卷积的关系卷积的关系 线卷积是系统分析的重要方法，而循环卷积可以利线卷积是系统分析的重要方法，而循环卷积可以利用数字计算机进行计算为了借助循环卷积求线卷积，用数字计算机进行计算为了借助循环卷积求线卷积，要使循环卷积的结果和线卷积结果相同，可以采用要使循环卷积的结果和线卷积结果相同，可以采用补零补零的方法，使的方法，使f1(k)和和f2(k)的长度均为的长度均为L≥N+M-1 ，这样使，这样使得做循环卷积时，向右端移出去的是零值，从而使左端得做循环卷积时，向右端移出去的是零值，从而使左端循环出现的也是零值，保证了循环卷积与线卷积的情况循环出现的也是零值，保证了循环卷积与线卷积的情况相同。

相同此时，循环卷积和线卷积的结果相同此时，循环卷积和线卷积的结果相同 比较例比较例1和例和例2的结果可见，循环卷积的结果和线卷的结果可见，循环卷积的结果和线卷积的结果是不同的这是因为卷积的过程中，序列积的结果是不同的这是因为卷积的过程中，序列经反折再向右平移，在左端将依次留出空位；而在循环经反折再向右平移，在左端将依次留出空位；而在循环卷积过程中，序列经反折作圆周移位，从右端移去的样卷积过程中，序列经反折作圆周移位，从右端移去的样值又从左端循环出现，造成两种卷积的结果截然不同值又从左端循环出现，造成两种卷积的结果截然不同信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-137页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质6.频域循环卷积（频域圆卷积）定理频域循环卷积（频域圆卷积）定理若若则则其中，其中，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-138页■电子教案电子教案4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质7.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理若若则则若若f(k)为实序列，则为实序列，则。