空间曲线的曲率、挠率和frenet公式.doc

1空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如: 时为直线,0k时为平面曲线.0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述 Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1 准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出 类空间曲线 和 上一点 .设曲线 的自然参数表示是2c()cp()c,rs其中 是自然参数，得s dsαg是一单位向量. 称为曲线 上 点的单位切向量.α()cp由于 ，则1， αg即.rg在 上取单位向量αg2， (1)αrβg称为曲线 上 点的主法向量.β()cp再作单位向量，γαβ称为曲线 上 点的副法向量.γ()cp我们把两两正交的单位向量 称为曲线上 点的伏雷内(Frenet)标架.,γp1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段 的平均弯曲程度可取为曲线在 间切向量关于弧长的平均旋转PQP、 Q角.设空间中 类曲线 的方程为3c()().rs曲线 上一点 ，其自然参数为 ，另一邻近点 ，其自然参数为 .在()ps1ps、 两点各作曲线 的单位切向量 和 .两个切向量的夹角是p1()c()α)s，也就是把点 的切向量 平移到点 后，两个向量 和1(s()sα的夹角为 .()sα我们把空间曲线在 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点 的曲p p率.定义 空间曲线 在 点的曲率为1()c，0()limsk其中 为 点及其邻近点 间的弧长， 为曲线在点 和 的切向量的夹角.sp1pp13再利用命题“一个单位变向量 （即 ）的微商的模 的几何意()tr()1t,()rt义是 对于 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线 的切向量 上去，则有()tr )cα.()ksαg由于 ，所以曲率也可表示为rαg.()ksrg由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面） ，所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率.1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一） ，所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线 上一点 的自然参数为 ，另一邻近点 的参数为 ，()cps1ps在 、 两点各作曲线 的副法向量 和 .此两个副法向量的夹角p1 ()γ)是 (如图一).()sr()sr()sr4（图一）再利用命题“一个单位变向量 （即 ）的微商的模 的几何意()tr()1t,()rt义是 对于 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线 的副法向量向量 上去，()tr ()cγ得到，0limsγg此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大） ，副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有，()ksrαβgg即. (2) ()ksαβg对 求微商，有γαβ，()()ksαβαβgggg因而.γg又因为 是单位向量，所以γ.g由以上两个关系可以推出. (3)/γβg5现在我们给出挠率的定义如下：定义 曲线 在 点的挠率为：1()cp().sγβg， 当 和 异 向 ，， 当 和 同 向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有（4）γβg（ s)另外，对 求微商，并利用（4）和（2） ，可以推导出βγα（5）()()skskβααγβggg公式（2） ， （5） ， （4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet）公式，即，()()sksαβγγgg这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量 、 、 关于弧长 的αβγs微商可以用 、 、 的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵αβγ0()0ks2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出 类的空间曲线3c()c6，().rs则有，,drrstg，22,2,dsrdsdsr rtsttttgg gg所以，23,,dsdssrrrttttggg由上式得.3,, sindrrtg注意上式中，,1,dsrrtgg因而有.3,,,rkr由此得到曲率的一般参数表示式.,,3,rk2.3 挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式，γβg（ s)两边点乘 得β，rg因而726,2,, 111, kkkkrγβαβαγγγgggggg再把 ,dsrtg2,ttgg323,dssdrtttγγgg代入 中得,,,r，66,,, ,,,dsrrtγγgg所以得到.,,,2,,r这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线 上一点 的主法线()c ()c()Ps的正侧取线段 ，使 的长为 ，以 为圆心，以 为半径在密切平面上确PC1kC1k定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的密切圆（曲率圆） ，曲率圆的中心称()cPs为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.8PrC1k（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1 求圆柱螺线 的曲率和挠率.cos,in,abr解 由圆柱螺线方程 ，先计算,si,co,ar, in0,si,cs,r于是有 ,2.ab,, 2sincossin,cos,i0aa13eer,,24.abr代入曲率和挠率的公式得 ,,2332, ,kabr9,,2242, .babr由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2 证明曲率恒等于零的曲线是直线.1证明 已知 因而0,krg,r0g由此得到 （常向量）.a再积分即得 ,sb其中 也是常向量.这是一条直线的参数方程.b例 3 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.1证明 若 则 是固定向量，但是我们已知0,γ0,αγg因而有 ,rg积分后得（常数） ，aγ所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2008.。