鸡兔同笼问题公式和例题.doc

鸡兔同笼问题五种根本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】〔1〕总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：〔总脚数-每只鸡的脚数×总头数〕÷〔每只兔的脚数-每只鸡的脚数〕=兔数；总头数-兔数=鸡数或者是〔每只兔脚数×总头数-总脚数〕÷〔每只兔脚数-每只鸡脚数〕=鸡数；总头数-鸡数=兔数例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只.〞　　解一〔100-2×36〕÷〔4-2〕=14〔只〕………兔；36-14=22〔只〕……………………………鸡　　解二〔4×36-100〕÷〔4-2〕=22〔只〕………鸡；36-22=14〔只〕…………………………兔　　〔答略〕〔2〕总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式　　〔每只鸡脚数×总头数-脚数之差〕÷〔每只鸡的脚数+每只兔的脚数〕=兔数；　　总头数-兔数=鸡数　　或〔每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差〕÷〔每只鸡的脚数+每只免的脚数〕=鸡数；　　总头数-鸡数=兔数〔例略〕〔3〕总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式　　〔每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差〕÷〔每只鸡的脚数+每只兔的脚数〕=兔数；　　总头数-兔数=鸡数。

　　或〔每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差〕÷〔每只鸡的脚数+每只兔的脚数〕=鸡数；　　总头数-鸡数=兔数〔例略〕〔4〕得失问题〔鸡兔问题的推广题〕的解法，可以用下面的公式：　　〔1只合格品得分数×产品总数-实得总分数〕÷〔每只合格品得分数+每只不合格品扣分数〕=不合格品数或者是总产品数-〔每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数〕÷〔每只合格品得分数+每只不合格品扣分数〕=不合格品数　　例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格.〞　　解一〔4×1000-3525〕÷〔4+15〕=475÷19=25〔个〕　　解二 1000-〔15×1000+3525〕÷〔4+15〕　　＝1000-18525÷19=1000-975=25〔个〕〔答略〕　　〔“得失问题〞也称“运玻璃器皿问题〞，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔本钱××元……它的解法显然可套用上述公式〕〔5〕鸡兔互换问题〔总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题〕，可用下面的公式：　　〔〔两次总脚数之和〕÷〔每只鸡兔脚数和〕+〔两次总脚数之差〕÷〔每只鸡兔脚数之差〕〕÷2=鸡数；　　〔〔两次总脚数之和〕÷〔每只鸡兔脚数之和〕-〔两次总脚数之差〕÷〔每只鸡兔脚数之差〕〕÷2=兔数。

　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，假设将鸡数与兔数互换，则共有脚52只鸡兔各是多少只.〞　　解〔〔52+44〕÷〔4+2〕+〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=20÷2=10〔只〕……………………………鸡　　〔〔52+44〕÷〔4+2〕-〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=12÷2=6〔只〕…………………………兔〔答略〕鸡兔同笼目录 1总述 2假设法 3方程法一元一次方程二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法根本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一大约在1500年前，"孙子算经"中就记载了这个有趣的问题书中是这样表达的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.〞这四句话的意思是：有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚问笼中各有几只鸡和兔.算这个有个最简单的算法〔总脚数-总头数×鸡的脚数〕÷〔兔的脚数-鸡的脚数〕=兔的只数〔94－35×2〕÷2=12(兔子数) 总头数〔35〕－兔子数〔12〕=鸡数〔23〕解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。

虽然现实中没人鸡兔同笼2假设法假设全是鸡：2×35=70〔只〕鸡脚比总脚数少：94－70=24 〔只〕兔：24÷(4-2)=12 〔只〕鸡：35－12=23〔只〕假设法〔通俗〕假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59〔只〕然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24〔只〕兔：24÷2=12〔只〕鸡：35-12=23〔只〕3方程法(略〕4抬腿法法一假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数法二假设鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡5列表法腿数鸡〔只数〕兔〔只数〕6详解中国古代"孙子算经"共三卷，成书大约在公元5世纪这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比方“鸡兔同笼〞问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，则，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35×2=70〔只〕，比题中所说的94只要少94-70=24〔只〕现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72〔只〕，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12〔只〕，从而鸡有35-12=23〔只〕我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比拟，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔概括起来，解鸡兔同笼题的根本关系式是：兔数=〔实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数〕÷〔每只兔子脚数-每只鸡脚数〕类似地，也可以假设全是兔子我们也可以采用列方程的方法：设兔子的数量为*，鸡的数量为y 则：*+y=35则4*+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只7详细解法根本问题 "鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题最早出现在"孙子算经"中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有假设干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。

现在，地面上出现脚的总数的一半，•也就是244÷2=122〔只〕. 在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34〔只〕，有34只兔子.当然鸡就有54只答：有兔子34只,鸡54只上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是"孙子算经"中记载的做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子，则就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108〔只〕. 每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)= 54〔只〕. 说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子而是鸡.因此可以列出公式鸡数=〔兔脚数×总头数-总脚数〕÷〔兔脚数-鸡脚数〕. 当然，我们也可以设想88只都是"鸡",则共有脚2×88=176〔只〕，比244只脚少了244-176=68〔只〕. 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，68÷2=34〔只〕. 说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式兔数=〔总脚数-鸡脚数×总头数〕÷〔兔脚数-鸡脚数〕. 上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设法". 现在，拿一个具体问题来试试上面的公式例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元问红，蓝铅笔各买几支.解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11) =24÷8 =3〔支〕. 红笔数=16-3=13〔支〕. 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔对于这类问题的计算，常常可以利用脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想，脚数是8×(11+19)=240〔支〕比280少40. 40÷(19-11)=5〔支〕就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔〕数是3. 30×8比19×16或11×16要容易计算些利用数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷(19-11)=3, 就知道设想6只"鸡",要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打假设干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时甲打字用了多少小时.解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数〕，甲每小时打30÷6=5〔份〕，乙每小时打30÷10=3〔份〕. 现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了根据前面的公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年，父母年龄〔整数〕和是78岁，兄弟的年龄和是17岁四年后(2002年〕父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.则当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年.解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。

25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄是(25×4-86)÷(4-3)=14〔岁〕. 1998年，兄年龄是14-4=10〔岁〕. 父年龄是(25-14)×4-4=40〔岁〕. 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是(40-10)÷(3-1)=15〔岁〕. 这是。