第2章资金的时间价值与无风险资产估价课件.ppt

《金融经济学》《金融经济学》第二章第二章 资金的时间价值与无风险资产估价资金的时间价值与无风险资产估价学习目的学习目的o掌握资金时间价值的内涵及计算掌握资金时间价值的内涵及计算o掌握无风险资产定价方法掌握无风险资产定价方法o掌握债券收益率的度量方法掌握债券收益率的度量方法o理解债券定价的基本原理，把握对债券的价格的度量理解债券定价的基本原理，把握对债券的价格的度量本章内容概览本章内容概览一、资金的时间价值一、资金的时间价值二、无风险资产估价二、无风险资产估价三、债券收益率的度量三、债券收益率的度量四、债券定价原理四、债券定价原理五、度量债券价格的波动性五、度量债券价格的波动性第一节 资金时间价值资金时间价值的概念 一次性收付款项终值和现值的计算 年金终值和现值的计算 一、资金时间价值的概念一定量的资金在不同时间点上价值量的差额 资金时间价值是资金周转使用中产生的 资金时间价值相当于没有风险没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率 一次性收付款项终值和现值的计算一次性收付款项是指在某一特定时点上一次性 支付（或收 取）， 经过一段时间后再相应地一次性收 取（或支付）的款项 例如： 年初存入银行一年定期存款1 000元，年利率 10%，年末取出1 100元，就属于一次性收付款项终值又称将来值，是现在一定量现金在示来某一点上的价值。

如： 上例中一年后本利和1100元即为终值 现值又称本金， 是未来某一时点上的不定期量现金折合到现在的价值 如： 上例中一年后的1100元折合到现在的价值 是1000元，这1000即为现值（一）单利的计算o1.单利终值：F＝P（1+i·n)o例2－1 现在的1000元，按单利计算，年利率为8%，5年后的值多少？oF＝P（1+i·n)＝1000（1+8%x5)=1400o2.单利现值oP＝F/（1+i·n)o例2－2 10年后想得到10000元，在规定的年利率为10%的情况下，现在要存多少钱？oP＝F/（1+i·n)＝10000/（1+10%X10）＝5000（二）复利终值和现值的计算 在复利方式下，本金能生利，利息在下期则转列为本金与原来的本金一起计算利息 复利的终值是一定量的本金按复利计算若干期后的本利和复利终值一般计算公式为： F=P×(1+i)F=P×(1+i)n n　式中， Ｐ为现值，即Ｏ年（第一年初）的价值， F即第n年末价值；i为利率；n为计息期数1、、 复利终值的计算复利终值的计算设：设：F为复利终值，为复利终值，P 为本金，为本金，i 为每期利率，为每期利率，n 为期数，则为期数，则第第 1 期，期，F1= P( 1+i ) = P( 1+i )1 2 , F2= F1( 1+i ) = P( 1+i )1 ( 1+i ) = P( 1+i )2 3 , F3= F2(1+i ) = P( 1+i )2 ( 1+i ) = P( 1+i )3 第第n 期，期， F= P( 1+i ) n例例2－－3：已知年利率为：已知年利率为 10.0％，存入％，存入 1000 元，按复利计算，元，按复利计算，3 年后共多少钱？年后共多少钱？解：解：F = 1000( 1+0.1 )3 = 1331（元）（元）v复利终值系数复利终值系数 为便于计算，通常事先将为便于计算，通常事先将 ( 1+i ) n 的值的值计算出来，计算出来，称称之为复利终值系数之为复利终值系数，，编制成表格，称之为复利终值系数表编制成表格，称之为复利终值系数表 通常，记：通常，记： ( F/P, i, n ) = ( 1+i ) n2、、复利现值的计算复利现值的计算∵∵ F= P( 1+i ) n ∴∴ P= F ( 1+i ) –n 记：记： ( P/F, i, n ) = ( 1+i ) –n称之为复利现值系数称之为复利现值系数［例１-1］王先生在银行存入５年期定期存款2000元，年利率为７%，５年后的本利和为： 2000×(1+7%)5=2000×1.4026＝2805.2（元） [例2-4]某项投资４年后可得收益40000元，年利率６％计算，其现值应为： 40000×　　　　＝ 40000×0.7921 =31684（元） （三）年金终值和现值的计算（1）普通年金终值和现值的计算 （2）即付年金终值和现值的计算 （3）递延年金终值和现值的计算 （4）永续年金现值的计算 （5）普通年金折现率的推算 年金年金（（AnnuityAnnuity：：A A）） 指在一定时期内每个计划期等额的收付款项。

指在一定时期内每个计划期等额的收付款项 年金的分类：年金的分类：• 普通年金普通年金（后付年金）（后付年金） ——指在各期期末收入或付出的年金指在各期期末收入或付出的年金• 即付年金即付年金（预付年金）（预付年金） ——指在各期期初收入或付出的年金指在各期期初收入或付出的年金•永续年金永续年金 ——等额的收付款项无限期连续发生等额的收付款项无限期连续发生(1)普通年金终值和现值的计算图1-1可知，年金终值的计算公式为： F=A·（1+i）0+A·(1+i)1+ A·(1+i)2 … A· (1+i)n-2+A·(1+i)n-1 整理得 F=A· 上式中，F为普通年金终值；A为年金；i为利率； n为期数；方括号中的数值通常称为“年金终值系 数”，记做（F/A，i， n），可直接查阅“1元年终 值表” [例2-5]张先生每年年末存入银行1000元，连存5年，年利率10%则5年满期后，张先生可得本利和为直接按普通年金终值计算公式为计算： 五年期满后可得本利和=1000× =1000×6.1051=6105.1 例2－6 1995年、1996年年初投资分别为10万元，复利利率9%，计算1997年初投资额的终值。

普通年金现值公式Ｐ=A· 　上式中，Ｐ为普通年金现值；Ａ为年金；i 为折现率；n为期数；方括号中的数值通常称 为“年金现值系数”，记做（p/A，i,n),可直接查阅“１元年金现值表” ［例2-7］现在存入一笔钱，打算在以后4年中，每年年末得到1000元，假设年利率为10%，现在要存入多少钱？直接按普通年金现值计算公式计算： P＝AX（P/A，10%，4） ＝1 000×3.170 ＝3170元 ［例］某投资项目于1999年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益4000元按年利率６%计算，则预期10年收益的现值为： 4000× 　　　7.3601 ＝294 404 (元）(2)即付年金终值和现值的计算 即付年金的终值是其最后一期期末时的本利 和，是各期期初收付款的复利终值之和。

即付年金终值的计算公式为： Ｆ＝A·(1+i)1+ A·(1+i)2 …+ A·(1+i)n 式中各项为等比数列，首项为A·(1+i)，公比为（１＋i)， 根据等比数求和公式可知： Ｆ＝ 　　　 　　＝ 　　 　上式中的　　　　　　　是即付年金终值系数， 它是在普通年金终值系数　　　　　　的基础上， 期数加１，系数减1所得的结果，通常记做［(F/A,i, n+1)-１]通过查阅“１元年金终值表”可得（n+ １)期的值，然后减去１，便可得到地应的即付年 金系数的值 ［例１-6］为给儿子上大学准备资金，王 先生连续六年于每年年初存入银行3000元 　Ｆ＝Ａ·［（F/A，i,n+1)-1] ＝3000×[(F/A，5%，7)-1] ＝3000 ×（8.1420-1）＝21426（元)[例１-７］李先生采用分期付款方式购商品房一套，每年年初付款15000元，分10年付清若银行利率为６％，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？ 　Ｐ=A·[(P/A，i, n-1）+] =15000×[(P/A，6%,，9)+1] =15000×(6.8017+1) 　　=117025.5 （３）递延年金终值和现值的计算递延年金现值的计算方法有两种： 第一种方法，计算公式为： Ｐ＝Ａ· 　 　＝Ａ·（P/A，i， m+n) ·(p/A，i，m) 第二种方法，计算公式为： Ｐ＝Ａ· 　 ＝Ａ·（p/A，i，n) ·(P/F，i，m) (4)永续年金现值的计算Ｐ＝Ａ·　　　　　 　当n→∞时，（１＋i）－n的极限为零，故上式可写成： Ｐ＝Ａ/i 　[例2-8］某学校拟建立一项永久性的奖学金， 每年计划颁发20000元奖学金。

若利率为10%，则 现在应存入多少钱？ 　　Ｐ＝20000÷10%=200 000(元） 折现率（利息率）的推算对于一次性收付款，根据其复利终值（或现值）的计算公式可得折现率的计算公式为：i=(F/P)-n－1 年金折现率的计算比较复杂，由于无法直接套用公式，因此，在计算上通常使用内插法以普通年金年现值为例，具体计算步骤是： 1.计算F/A的值，设F/A=α 2.查普通年金现值系数表沿着已知n所在的行横向查找，若恰好能找到某一系数值等于α，则该系数所对应的利率就是所求的i值 3.若无法找到恰好等于α的系数值，就应在表中n行上找与α最接近的两个左右临界数值，设为β1、β2（β1＞α＞β2或β1＜α＜β2），找出β1、β2相对应的利率i1、i2，然后运用内插法求i值 4.内插法下，利率i的计算公式为： [例例2-11]王先生于第1年年初借款20000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续10年还清问借款利率是多少？ 因为，F/A=20 000÷4 000=5=α 由于无法找到恰好等于α=5的系数值，就应在表中n行上找与α=5最接近的两个左右临界数值，设为β1=5.0188、β2=4.8332，找出β1、β2相对应的利率i1=15%、i2=16%，则， 　　　　　　　　　　=15.101%二、无风险资产的估价二、无风险资产的估价 无风险资产：货币证券以及由货币证券构成的无风险资产：货币证券以及由货币证券构成的资产组合。

资产组合 相对于股票等金融资产，债券的风险较小，特相对于股票等金融资产，债券的风险较小，特别是政府债券由于政府的信用极高，发生违别是政府债券由于政府的信用极高，发生违约的概率较小，所以政府债券也常被看做是无约的概率较小，所以政府债券也常被看做是无风险资产这里主要介绍债券的估价风险资产这里主要介绍债券的估价o任何金融工具的价格等于其预期现金流量的任何金融工具的价格等于其预期现金流量的现值o对金融工具的价格确实包括预期现金流量的对金融工具的价格确实包括预期现金流量的估计值以及应计收益率的估计值估计值以及应计收益率的估计值o债券的估价模型债券的估价模型假如利息每年支付，可以得到方程：假如利息每年支付，可以得到方程：其中其中 I I：代表每年支付的利息：代表每年支付的利息= =票面利率票面利率* *票面值票面值 M M：代表票面值，或到期值，比较典型的是：代表票面值，或到期值，比较典型的是10001000美元美元 r r：代表投资者的需要回报率：代表投资者的需要回报率 n n：代表到期的年数：代表到期的年数 注意：假设条件o利息每六个月支付一次；o下次收到发行人支付的利息正好是从即期起的6个月后；o每期支付的利息是固定的。

 期限为20年、利率为10%、票面值为1000元的债券，投资者要求的收益率为11%，这个债券的价格是多少？ 期限为20年、利率为10%、票面值为1000元的债券，投资者要求的收益率为6.8%，这个债券的价格是多少？ 期限为20年、利率为10%、票面值为1000元的债券，投资者要求的收益率为10%，这个债券的价格是多少？假如不支付利息，可以得到方程：假如不支付利息，可以得到方程：这说明零息债券价格是票面面值的现值这说明零息债券价格是票面面值的现值 15年期零息债券，票面价格为1000元，投资者要求的收益率是9.4%，该债券的价格是多少？o债券估价需要知道三个基本元素债券估价需要知道三个基本元素: :o投资者收到的现金流量，它等于收到的每期利息投资者收到的现金流量，它等于收到的每期利息加上到期时的票面价值；加上到期时的票面价值；o借款的到期日；借款的到期日；o投资者需要的回报率投资者需要的回报率 每期利息可以是每年付一次或者半年付一次每期利息可以是每年付一次或者半年付一次债券的价值只不过是这些现金流的现值债券的价值只不过是这些现金流的现值。

债券估价债券估价票面利率、应计收益率和价格的关系票面利率、应计收益率和价格的关系o票面利率<收益率 市场价格<票面价格（折价债券）o票面利率=收益率 市场价格=票面价格o票面利率>收益率 市场价格>票面价格（溢价债券）利率确定时债券价格和期限的关系利率确定时债券价格和期限的关系o票面利率等于应计收益率时，随着债券越临近期满日，价格就越稳定o溢价或折价出售的债券，随着期满日的临近，价格会发生不同的变化 溢价发行的债券，价格随着期满时间的临近会下降；折价发行的债券，则价格会上升但到了期满日两种债券的价格都会等于面值o给定其他因素不变，债券的到期时间越长，债券给定其他因素不变，债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大但是价格的波动幅度越大但是,当到期时间变化时，当到期时间变化时，债券的边际价格变动率递减下表显示了息票率债券的边际价格变动率递减下表显示了息票率（（6%）与面值（）与面值（100）相同，但期限不同的债券）相同，但期限不同的债券（随（随YTM变化）的内在价值变化变化）的内在价值变化YTM%期限期限1年年10年年20年年30年年456 7 8102116127135101 108112115 1001001001009998938689 8088 77o如果债券的收益率在整个生命期内都不变，则折扣或溢如果债券的收益率在整个生命期内都不变，则折扣或溢价的大小将随到期日的临近而逐渐减小。

如下图所示价的大小将随到期日的临近而逐渐减小如下图所示.面值溢价债券价格折价债券价格溢价折价到期日今天o价格价格-收益曲线和期限收益曲线和期限3种债券的息票率均为种债券的息票率均为10%，但期限分别为，但期限分别为30年，年，10年和年和3年，在年，在YTM=10%时，时，3种债券的价格等于面值，因而种债券的价格等于面值，因而3条曲线在条曲线在此相切但是，由于期限不同，此相切但是，由于期限不同，3条曲线绕面值点旋转的量有所不同其条曲线绕面值点旋转的量有所不同其主要特征是随着期限的延长，曲线围绕面值点的旋转越来越陡，表明期限主要特征是随着期限的延长，曲线围绕面值点的旋转越来越陡，表明期限越长，价格对收益的敏感度越高越长，价格对收益的敏感度越高YTM30-Yrs10-Yrs3-Yrs Price 0 10%-零息票债券价值随时间的变化零息票债券价值随时间的变化债券价格变动的原因债券价格变动的原因o发行人的信用级别变化导致价格变动o即使市场利率没有任何变化，随着期满日的临近，债券价格也会变化o可比类债券收益率（即市场利率）变动导致债券价格变动三、债券收益率的度量三、债券收益率的度量（一）（一） 债券收益来源及影响因素债券收益来源及影响因素来源：利息收入、资本损益来源：利息收入、资本损益影响收益率的因素：债券利率、价格和期限影响收益率的因素：债券利率、价格和期限另外，债券的可赎回条款、税收待遇、流动性及另外，债券的可赎回条款、税收待遇、流动性及违约风险等也会不同程度的影响债券的收益率。

违约风险等也会不同程度的影响债券的收益率三、债券收益率的度量三、债券收益率的度量（一）（一） 债券收益率的定义及计算债券收益率的定义及计算1.年收益率与期间收益率年收益率与期间收益率（（1）年收益率（）年收益率（annualizing yield）：持有债券一）：持有债券一年的收益率，年的收益率，ry（（2）期间收益率（）期间收益率（current yield）：某一时间段）：某一时间段的收益率，的收益率，1/m年（年（m=2,4,12：半年，季度，月：半年，季度，月度），度），rm2.票票面收益率：印制在债券票面上的固定利率，面收益率：印制在债券票面上的固定利率，即年利息收入与债券面额的比率即年利息收入与债券面额的比率3.直接收益率直接收益率（current yield）： ：指债券的年：指债券的年利息收入与买入债券的实际价格的比率利息收入与买入债券的实际价格的比率4.到期收益率到期收益率（yield to maturity,YTM）指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率息票债券的计算公式：息票债券的计算公式：一次还本付息债券到期收益率一次还本付息债券到期收益率4.到期收益率到期收益率（yield to maturity,YTM）指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率。

指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率试算法5.持有其收益率：债券持有期间的收益率，rH息票债券的计算公式：息票债券的计算公式：一次还本付息债券到期收益率一次还本付息债券到期收益率5.持有其收益率：债券持有期间的收益率，rH6.赎回收益率（yield to call）：指持有期至提前赎回为止的持有期收益收率rYTH7.投资组合收益率（yield for portfolio）指债券投资组合的内部收益率（internal rate of return），rYP假定该投资组合有k只债券考虑如下一个投资组合债券债券买价买价面值面值票面票面利率利率（（%））期限期限（年）（年）A98010005%5B96010004%4C95010002%28.三个重要利率及性质三个重要利率及性质例：以274.78元出售的到期值为1000元，还有15年到期的零息债券的即期收益率是多少？4.4%×2=8.8%是该债券的即期收益率是该债券的即期收益率o假设附息债券的票面收益率为8.3%，期限为10年o这张附息债券可以拆分为21张零息债券，分别是：一张期限为半年期的零息债券， 一张期限为一年期的零息债券， 一张期限为一年半的零息债券， 一张期限为二年的零息债券，　　…………. 一张期限为十年的零息债券 理论即期利率曲线的构建：理论即期利率曲线的构建：理论即期利率的构建：理论即期利率的构建：假设附息债券的票面收益率为8%期限(年)到期收益率即期利率差异0.50.080.08010.0830.08301.50.0890.08930.000320.0920.092470.000472.50.0940.094680.0006830.0970.097870.000873.50.10.101290.0012940.1040.105920.001924.50.1060.10850.002550.1080.110210.00221续前表5.50.1090.111750.0027560.1120.115840.003846.50.1140.117440.0034470.1160.119910.003917.50.1180.124050.0060580.1190.122780.003788.50.120.125460.0054690.1220.131520.009529.50.1240.133770.00977100.1250.136230.01123即期利率的计算o即期利率与即期利率与YTMYTM不同不同, ,它是根据息票债券用它是根据息票债券用““捆箱子捆箱子””的的方法，将附息债券视作一系列零息债券的组合，然后按方法，将附息债券视作一系列零息债券的组合，然后按不同期限利率来加以计算所得到的。

不同期限利率来加以计算所得到的以前表中所给息票债券为例，以前表中所给息票债券为例，1.5年的即期利率计算如下：年的即期利率计算如下： 96.15=100*0.0425/(1+0.04)+100*0.0425/(1+0.0415)2+(100*0.0425+100)/(1+R3)3 o理论即期利率与理论即期利率与YTM不同，它考虑了不同时期的现金流不同，它考虑了不同时期的现金流应当运用不同时期的利率予以贴现应当运用不同时期的利率予以贴现但根据上表计算结但根据上表计算结果，可以看出它们的差异并不是很大果，可以看出它们的差异并不是很大o下面是一个国债息票拆离套利的例子，或许可以帮助我下面是一个国债息票拆离套利的例子，或许可以帮助我们理解其中的关系们理解其中的关系               一个息票拆离获取套利收入的例子一个息票拆离获取套利收入的例子 ：附息债券的票面利率是12.5%，面值为100到期时间现金流以12.5%贴现的现值 YTM以YTM贴现的现值 0.56.255.88240.086.009616.255.53630.0835.76181.56.255.21070.0895.484726.254.90420.0925.2212.56.254.61570.0944.962636.254.34420.0974.7043.56.254.08860.14.441846.253.84810.1044.16634.56.253.62180.1063.926756.253.40870.1083.6938续前表续前表5.56.253.20820.1093.486366.253.01950.1123.25026.56.252.84190.1143.040276.252.67470.1162.83847.56.252.51740.1182.645186.252.36930.1192.47898.56.252.22990.122.32196.252.09870.1222.15289.56.251.97530.1241.99310106.2531.6040.12531.6046总计 100 104.188对上述套利例子的理解和分析对上述套利例子的理解和分析 在上例中，由于十年期国债在上例中，由于十年期国债按照一个固定的按照一个固定的YTMYTM发行，发行，这样，这样，套利者可以购入后进行息票拆分，以一系列的现金流为基套利者可以购入后进行息票拆分，以一系列的现金流为基础，按照不同期限的利率加以发行，分解为一系列的零息础，按照不同期限的利率加以发行，分解为一系列的零息债券，并在此基础上每债券，并在此基础上每$100$100获取了获取了$4.188$4.188套利收入。

正是套利收入正是由于这种由于这种套利行为的存在，使市场利率最终趋向于理论即套利行为的存在，使市场利率最终趋向于理论即期利率 上例套利行为存在两个假设上例套利行为存在两个假设：：(1)(1)各期限的债券需求是具备各期限的债券需求是具备充分或一定弹性的，否则，由于拆分而造成各期限债券供充分或一定弹性的，否则，由于拆分而造成各期限债券供给的变化将导致利率结构的变化，换言之，拆分也是有风给的变化将导致利率结构的变化，换言之，拆分也是有风险的；险的；(1)(1)拆分是存在交易成本的，套利收入扣除交易成本拆分是存在交易成本的，套利收入扣除交易成本加成利润后的余额才应当是纯套利收入，才可视作利差，加成利润后的余额才应当是纯套利收入，才可视作利差，否则未免有些牵强否则未免有些牵强 可以说，正是由于套利行为的存在而使市场有效可以说，正是由于套利行为的存在而使市场有效套利的种类 3.远期利率远期利率（（forward rate））o6个月期票据利率=0.08，s1=0.04o1年期票据利率=0.083，s2=0.0415则半年后的1期远期利率是多少？of乘以2将给出6个月远期利率的债券等价收益率。

o由于我们利用即期利率计算了远期利率，由此得出的远期利率也叫做隐含远期利率o一般隐含远期利率的公式：乘以2为隐含远期利率的债券等价收益率，其中sn为半年即期利率                       按照纯预期理论的观点，远期利率是人们关于未来利率的无偏期望，代表了市场人士对市场的一致看法根据该观点，人们无论以任何方式投资任何期限的债券所获取的收益都将是相同的          例如：甲要进行一笔三年期的投资，他可以直接购入一张三年期的国债；也可以购入一年期的国债，在今后两年到期日进行再投资；还可以购入一张十年期的国债，在持有三年后在市场上买出不管那种方式，他所获取的收益都将相同否则，市场中的套利行为也将使之趋于一致因此，可以得出远期利率的公式：      (1+fn)n=(1+r1)(1+r2)‥(1+rn)                fn=[(1+r1)(1+r2) ‥(1+rn)]1/n-1 该理论假设人们是风险中性的，且未考虑交易成本假设一位打算投资5年的投资者正在考虑两种选择：1.购买5年期（10个时期）的零息债券2.购买3年期（6个时期）的零息债券，并在3年后其期满时购买2年期财政证券。

o3年期即期利率=0.09787，s6=0.048935o5年期即期利率=0.11021,s10=0.055105则3年后的2年期远期利率为0.0644×2=0.1288四、债券定价原理四、债券定价原理oB.G.Malkiel(1962)最早系统地归纳了债券定价五规则，后来，Homer和Liebowitz(1972)又补充了一条，形成了债券定价六定理 定理一定理一 债券价格与收益率之间呈反比关系债券价格与收益率之间呈反比关系 当收益率增加时，债券价格下降；反之，收益率下降时，债券价格上升 PriceYTM015%息票率10%息票率零息票o定理二定理二 当债券收益率不变，即债券的息票率与收当债券收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系券价格的波动幅度之间成正比关系 换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小 也可以理解为：若两种债券具有相同的息票率、面值和收益率，则具有较短生命期内的债券的销售折扣或溢价也较小o定理三定理三 随着债券到期日的临近，债券价随着债券到期日的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少，反之，到期时间越长，债券价格波减少，反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。

动幅度增加，并且是以递减的速度增加 如果一种债券的收益率在整个生命期中不变，则折扣或溢价减小的速度将随着到期日的临近而逐渐加快o定理四（债券凸性）定理四（债券凸性） 债券收益率的下降会引起债券收益率的下降会引起债券价格的上升，且上升的幅度要超过债券收债券价格的上升，且上升的幅度要超过债券收益率以同样比率上升引起债券价格下降的幅度益率以同样比率上升引起债券价格下降的幅度 因而，债券价格曲线是凸形的，所以称债券价格的这种特性为凸性换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失 曲线的曲度反映了随着收益率的不断上升，所引起的债券价格的下降程度逐渐减小因此，价格曲线在较高收益率时变得比较平缓o定理五定理五 对于给定的收益率变动幅度，债券的对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比关系息票率与债券价格的波动幅度成反比关系 如果债券的息票率越高，则由其收益率变化引起的债券价格变化的百分比越小但是，该规则不适用于一年期债券和永久性债券o定理六定理六 债券价格对其收益率变动的敏感性与债券价格对其收益率变动的敏感性与债券出售时的到期收益率呈反向变动关系。

债券出售时的到期收益率呈反向变动关系即债券出售时的到期收益率越低，债券价格对收益率的敏感性越大债券定价定理的意义o利率下降（上升）会导致债券价格上升（下降），债券的到期期限越长，票面利率越低，其价格波动性越大o如果希望预期利率变动对价格的影响达到最大，则债券购买者应购买利率低但到期时间长的债券o如果预期利率上升，则投资者倾向于高票面利率或到期期限短的债券五、度量债券价格的波动性五、度量债券价格的波动性（一）债券久期（一）债券久期（（duration）） 最早由麦考利()提出，因而也称麦考利久期o久期是债券分析中的核心概念，因为：o-它有效地度量了债券的风险，在债券风险管理中起到了非常重要的作用o-它是资产免疫的一个重要概念，资产免疫就是指通过适当的方式，以避免利率波动对资产价值的影响1.什么是久期?o久期久期是把债券每次利息或本金的支付时间进行加权平均所得到的期限因此，久期测度的是债券的实际持有期债券的实际持有期限限或者说，是债券支付的未来现金流（本息）的到期到期期限的加权平均值期限的加权平均值，也称为债券的平均期限，是一种债券的有效期限o零息票债券，由于期间没有支付息票利息，债券的实际持有期限就是债券的到期期限（Duration is equal to maturity for zero coupon bonds）。

o附息债券，由于债券到期之前，每期都会支付息票利息，从而使债券的实际期限缩短 1.什么是久期?o收益率收益率变化会导致债券价格的变化久期,我们可以利用久期来衡量债券价格的收益敏感性.o久期久期就是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比                                                                             一张T年期债券，t时刻的现金支付为CFt （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益率为y则债券的价格为债券久期为：oWt现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重权重之和等于1，因为按到期收益率贴现的现金流之和等于债券的价格o久期久期是把债券每次利息或本金的支付时间进行加权平均所得到的期限因此，久期测度的是债券的实际持有期债券的实际持有期限限或者说，是债券支付的未来现金流（本息）的到期到期期限的加权平均值期限的加权平均值，也称为债券的平均期限，是一种债券的有效期限o零息票债券，由于期间没有支付息票利息，债券的实际持有期限就是债券的到期期限（Duration is equal to maturity for zero coupon bonds）。

o附息债券，由于债券到期之前，每期都会支付息票利息，从而使债券的实际期限缩短 2.久期的计算久期的计算零息债券的久期TimeyearsPaymentPV of CF(10%)WeightC1 XC4110090.90.0909.0909210082.60.0826.165234100100110075.1068.30683.10.0751.0683.6830.22530.27323.4155久期计算:举例 5久期久期=4.1701例 4-5operiod cash flow PV$1@4.5% PV t(PV)oo1 3 0.9569 2.8712.871o o2 3 0.9157 2.7475.494o o3 3 0.8763 2.6297.887o o4 3 0.8386 2.56110.063o5 3 0.8025 2.40712.037o6 3 0.7679 2.30413.822o7 3 0.7348 2.20415.431o8 3 0.7032 2.10916.876o9 3 0.6729 2.01918.168o10 103 0.6439 66.325663.246o oPrice 88.131 765.895o金额持续期=765.9, meaning?oMacaulay 持续期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含义 4.35 倍久期(年) 30 0零息票债券息票率15%的YTM=6%息票率3%的YTM=15%息票率15%的YTM=15%到期30 20 久期的决定3.久期的特点久期的特点o保持息票利息支付和到期收益率不变，久期随着到期期限的增加而增加，但增加的速度递减，尤其是在期限长于15年时。

期限在5年以内时久期增加迅速，期限在5年和10年之间，久期增加的速度就明显降低了 附息债券的久期总是小于到期期限，零息票债券的久期与其到期期限相同o保持到期期限和到期收益率不变，息票利率和存续期呈反方向关系o保持利息支付和期限不变，到期收益率和久期成反向关系4.久期在债券分析和投资管理中的作用久期在债券分析和投资管理中的作用o债券的免疫，又称immunization，是指一种避险行为，是避免你的portfolio即投资组合的价值受到利率变动的影响 （二）利用久期估计价格变动（二）利用久期估计价格变动o久期的真正价值在于它考虑了息票利率和到期期限两个变量，而这两个变量是投资者在预期利率变动时要着重考虑的重要因素o久期可以用来度量利率敞口o如前面案例，此债券的修正久期为o到期收益率变动20个基点，即从10%变动至10.2%，则o债券由原来价格为1000元，降为992.42元债券组合久期的可加性证明债券组合久期的可加性证明（三）凸性（三）凸性(Convexity)o凸性是用来度量久期随到期收益率的变动而变动o例如，下图中的债券A为30年期、8％息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其初始修正久期为11.26年。

所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝0.001126，即0.1126％也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元而根据估价模型可以计算出此时的价格为998.875元  然而，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差 上图表明了这一点债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确o从上图还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度o债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。

这是因为债券A比债券B具有更大的凸度o为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利率灵敏度公式下式就是除久期外，将凸性因素考虑率灵敏度公式下式就是除久期外，将凸性因素考虑在内了o由上式可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的由上式可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的这就解释了久期近似值为什么在收第二项总是正的这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度升时高估债券价格的下跌程度Ø凸性Ctd数学定义可以表示为： 凸性与价格-收益率函数的二阶导数相对应Ø对于普通债券而言，凸性C 的计算公式是： t是现金流发生的时间，CFt为第t期的现金流，r是每期的到期收益率,n是距到期日的期数，P是债券的市场价格。

Ø对于零息债券，凸性的计算公式还可以进一步简化：Ø上式计算出的都是以期数为单位的凸性，为了转化成以年为单位的凸性，还要把它除以每年付息次数的平方值o举例：一支利率为举例：一支利率为1010％的零息票债券假设％的零息票债券假设利率由利率由1010％现在下降到％现在下降到9 9％，即％，即100100个基点随着利率下降，债券价格由到期收益率随着利率下降，债券价格由到期收益率1010％％时的时的386386美元上升到了到期收益率为美元上升到了到期收益率为9 9％时的％时的422422美元，价格上升了美元，价格上升了9.33%9.33%o首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响o这里的价格变化为这里的价格变化为9.09%9.09%，小于所导出的，小于所导出的9.33%9.33%的的变化幅度这个未预料出的变化幅度这个未预料出的9.33%-9.09%=0.24%9.33%-9.09%=0.24%的的变化就表现了凸性的影响即：变化就表现了凸性的影响即：o把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸性有关的债券价格变化估计量：性有关的债券价格变化估计量：o将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计：计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计： 例：面值为例：面值为100 元，票面利率为元，票面利率为8%的三年期债券，的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。

如果到期半年付息一次，下一次付息在半年后如果到期收益率为收益率为10%，计算它的麦考利久期和凸性计算它的麦考利久期和凸性Ø解：该债券的麦考利久期是5.4351 个半年，也就是5.4351/2=2.7176 年，计算过程如下：凸性的决定因素：票息和期限凸性的决定因素：票息和期限o一个例子：假设一个债券的到期收益率为一个例子：假设一个债券的到期收益率为10％下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影响o凸性的决定因素：票息和期限凸性的决定因素：票息和期限 期期 限限 票息票息 （（%））修正久期修正久期凸性凸性 到期收益率到期收益率 10年年 8年年 6.33年年 11.625 5.5 06.056.026.0350.4844.8739.24 10% 10% 10%注：三种债券都以10%的收益率出售，修正久期大约为6年，债券凸性随着息票率的降低而减小息票（%）期限（年） 凸性收益率（6%）收益率（8%）收益率（12%）收益率（14%）0524.9423.611.1-9.9-14%015210.8881.534.5-25.5-44.3030829.94223.279.3-43.9-68.48519.5821.710.2-9.2-17.481594.3661.226.4-20.2-35.7830167.56110.542.6-27.4-45.610518.7421.310.1-9.0-17.1101587.6259.125.6-19.6-34.81030158.70106.141.2-26.8-44.7每每100个基点和个基点和$100$100面值的美元久期百分比变化（初始收益率面值的美元久期百分比变化（初始收益率10%10%））从表中看出：从表中看出：o（（1）长生命期的债券与息票利率变化之间的关）长生命期的债券与息票利率变化之间的关系具有明显的凸性性质；系具有明显的凸性性质；o（（2）短期债券的价格－利率关系几乎是一条直）短期债券的价格－利率关系几乎是一条直线，只有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。

线，只有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小o（（3）凸性随着票息的降低而增大，随着票息的）凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而降低上升而降低o（（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的凸性o（（5）债券价格与利率关系在曲线的低利率部分）债券价格与利率关系在曲线的低利率部分更加弯曲更加弯曲凸性性质的总结o随着收益率的上升（下降），债券的久期将减小（增大）o对于既定的收益率和期限，息票越低，债券的凸性就越大对于两种期限相同的债券，零息债券的凸性比息票债券的大o对于既定的收益率和修正久期，息票越低，凸性就越小投资含义：对于既定的修正久期，零息债券的凸性最低o随着久期的增大，债券的凸性以加速度上升。