第二章-波函数ppt课件.ppt

第一章 复习 n量子力学的诞生1 四大力学：牛顿力学、热力学、电动力学、量子2 两个理论：相对论和量子论3 四个实验：(1) 黑体辐射 普朗克公式： 普朗克的能量子假说：=h (2) 光电效应 Einstein光量子假说： =h (光子) 由 可知，光子的频率不小于阈值才有 光子发射3) 原子光谱 原子只有在两个定态间跃迁时才发射或吸收电磁波 Em-En=h能量量子化，轨道角动量的量子化条件(4)Compton 散射 光子与电子的碰撞，动量能量守恒 光的粒子性的实验证实outline黑体辐射Planck假设光电效应Einstein假说 Compton散射光的粒子性 光子Bohr理论能量量子化 能量非连续性光的波粒二象性第二章 波函数和薛定谔方程1德布罗意假设2薛定谔方程3波函数的统计解释4粒子数守恒5态的叠加原理6不确定关系(测不准)一 物质波的提出 matter wave一个能量为E,动量为 P 的实物粒子同时具有波动性, 且有:德布罗意关系式De Broglie relation 与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波 德布罗意波长估算自由电子的波长:设电子动能由U伏电压加速产生()若 U=100伏 =1.225 X射线波段若 U=150伏 =1若 U=1000伏 =0.122(1) 微观粒子德布罗意波长的计算（2）经典粒子德布罗意波长的估算例1 质量m=0.01kg，速度V=300m/s的子弹的德布罗意波长为 因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难以测量的程度(其它经典粒子，例如足球的波长也是如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。

设有一个体重为m=50kg的短跑运动员，以速度V=10m/s作运动，求其相应的德布罗意波长 n 微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；n 微观粒子的状态用波函数 描述；n 微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态例如，电子在氢原子中时和在无外电场时的状态应该是不同的波函数也应该是不同的怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的波函数？ 波动方程的引入wave equation对于沿n方向传播的平面波可写为写成复数形式代表频率为、波长为，沿x方向传播的平面波1 平面波 plane wave 平面波是描述自由粒子的量子态，是最简单的波函数 平面波具有时、空周期性 其中对任意方向运动的自由粒子的波函数2 德布罗意自由粒子的平面波利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由粒子平面波的表达式A 薛定谔方程适用条件 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动速度(c) 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保持不变，-粒子数守恒 二 薛定谔方程- 量子力学的基本原理之三u为了考察体系状态随时间的变化，则波函数必须有时间tu介绍量子态随时间变化规律的动力学方程u引入了力学量算符的本征值、本征函数等概念Schrdinger equation 薛定谔方程是一个非相对论范畴内的波动方程 自由粒子的波函数 将上式对t 求微商即对x求微商即B.波动方程的建立同理 可得即其中 有Laplace 算符梯度算符自由粒子的能量 自由粒子波函数所满足的微分方程 自由粒子的薛定谔方程若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况下，粒子的能量是类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程薛定谔波动方程 算符化规则- 量子力学的基本原理之四将写成可见另，由动量算符能量算符由此派生的经典动能T与算符的对应关系为哈密顿(Hamilton)量对应的算符为于是薛定谔方程可简写成(1) 波函数的统计解释 statistical interpretationn 玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与该点找到粒子的几率成正比。

也就是描写微观粒子的波乃是几率波三 波函数的统计解释-量子力学的基本原理之一 在t时刻，在r点附近的体积元d中找到粒子的几率为 在某一位置附近衍射图样的强度与r点附近感光粒子的数目 成正比，即与电子打在该点附近的几率成正比称为几率密度(2) 实验表明n 通过波函数可以确定在r处附近的体积元d中找到粒 子的几率分布n 波函数(r,t)也常称为几率波幅 (probability amplitude)n 不同于经典波的波函数，它是个复函数，本 身不代表任何物理量，是个不可观测量n 考虑由若干个粒子组成的多粒子体系，则波函数为(3) 波函数的性质n 波函数描述微观粒子的运动状态，即量子态 粒子在空间各点的几率总和应为l，即归一化是几率波的特性A 归一化条件 normalization condition(4) 波函数的数学性质(r,t)与C (r,t)所描述的(相对)几率是相同的，例如在空间点r1与点r2的相对几率，波函数为 所以应该有,ifB 归一化常数 normalization constant称为归一化常数 例：假如粒子做一维运动，波函数为A是一常数，求：(1) 归一化的波函数；(2) 几率分布函数(几率密度) (3)几率密度最大的位置解：(1) 因为粒子做一维运动，归一化条件为将已知波函数代入得到例题积分后有即：所以归一化的波函数为(2) 几率密度为知道几率密度函数后，任意一点的几率密度就可以求得，例如xa/2处的几率密度(3) 首先求出几率密度一阶导数为零的位置则二阶导数小于零的位置（只能取x0，a/2,a）当xa/2时，上式的值为所以，x=a/2处几率密度最大严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。

做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件 (5)波函数满足的条件量子力学基本假设之一1. 平方可积条件2.一般说来，波函数3.要求是 单值函数几率密度只能有限，所以要求波函数有限，不能无限大4.波函数及其各级微商要具有连续性推广：当1 ，2 ， n是体系的可能状态时它们的线性叠加也是系统的可能状态 定义：若 1 , 2 是体系可能状态， 则它们的线性组合 = C11+C22 也是该体系的一个可能的状态 其中C1 , C2 为复常数各态出现的几率为四 态叠加原理量子力学第二个基本原理五 不确定关系量子力基本假设之一 The uncertainty principle 量子实体在移动中是波，而到达某一处时，则是粒子 量子世界的这种似波又似粒子的性质直接引出量子的不确定性测不准原理（不确定关系）内容不确定关系或测不准原理例1：一颗质量为10g的子弹，具有200ms1的速率若其动量的不确定范围为动量的0.01%（这在宏观范围内是十分精确了），则该子弹位置的不确定范围为多大？ 解：子弹的动量动量的不确定范围 由不确定关系，得子弹位置的不确定范围 例2：一电子具有200ms1的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%（这也是十分精确了），则该电子的位置不确定范围有多大？解：电子的动量 动量的不确定范围 由不确定关系，得电子位置的不确定范围 Schrdingers cat 假想实验 死活概率各占50% 检测时，波函数坍缩 不检测时，猫处于死 活两种状态的叠加实验表明：经典世界和量子世界存在着一条界限，一旦越过，量子现象就会消失。

作业题：1 证明自由粒子的不确定关系式可以写成x 2其中为自由粒子的德布罗意波长2 电子位置的不确定量为0.10nm,求其速度的不确定量3 一质量为40g的子弹以1103m/s的速度飞行，求(1)其德布罗意波长，(2)若测量子弹位置的不确定量为0.1mm,其速率的不确定量作业题：讲义P74，第2、3、19(1),(3)题第二章 定态薛定谔方程n 定态薛定谔方程n 一维无限势阱模型n 一维线性谐振子模型n 隧道效应(势垒贯穿)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件 定态薛定谔方程 常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题 自由运动粒子 U = 0 氢原子中的电子 薛定谔方程是描述体系的状态如何随时间变化 特殊的状态，就是能量取确定值的状态，称之为稳定状态， 简称定态stationary state 定态下，能量的取值不随时间的变化而改变 描述定态的波函数称为定态波函数 定态波函数满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。

1 定态薛定谔方程的建立 用分离变量法求解薛定谔方程的特解设E是不依赖r和t的常数在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量体系处于 所描写的状态时能量有确定的值，称这种状态为定态定态波函数定态薛定谔方程 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件2 定态薛氏方程的边界条件和波函数满足的条件边界条件：在不同势能区域之间的边界上波函数连续，在有限势能边界上波函数对空间坐标的一阶微商连续波函数满足的条件：1）归一化条件：2）束缚态条件：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征值方程，E 称为哈密顿算符的本征值，(r,t)称为哈密顿算符的本征波函数(能量本征态)例如哈密顿算符3 本征值、本征函数 eigenfunction 若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数 ，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。

做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件一维无限势阱模型1 一维无限深方势阱 square potential well 粒子的势能具有如下形式U=0UUU(x)x 无限深方势阱 是一个理想模型，适用于原子内层的电子、原子核中的质子 波函数在势阱之外为零 阱指的是势能曲线的形状，是无形的阱严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件2 一维无限势阱的定态薛氏方程 在阱内(-a x a)在阱外(x -a, x a)3 边界条件在 阱外U，所以有由定态波函数的边界条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件4 薛定谔方程的解 首先，引入符号定态薛氏方程化为它的解为根据边界条件有 A、B不能同时为零或严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件当同时有第一组当同时有第二组严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件因为将上面两个解合并写为常数A可由归一化条件,确定 请同学们自己试一试能量本征函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。

做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件定态薛定谔方程定态波函数定态薛定谔方程 边界条件：波函数及其一阶微商连续波函数满足的条件：列出定态薛氏方程能量本征函数归一化引入参数化简方程求出方程的通解确定粒子势能的表达式能量的本征值和本征函数解题思路波函数边界条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件一维无限深势阱能量本征值定态薛定谔方程 能量本征函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件束缚态 基态 宇称束缚态：粒子只能束缚在有限区域内，在无限远处波函数为零的状态（断续谱）非束缚态：在无穷远处发现该粒子的概率不为零（连续谱） 一维无限势阱中给出的波函数全部是束缚态1 束缚态bound state2 基态 ground state 粒子能量最低的本征态 一维无限。