定积分的元素法平面图形的面积.ppt
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右脑思维的核心是形象思维，右脑思维的核心是形象思维，在大脑中多出现形象的东西，在在大脑中多出现形象的东西，在各项思维活动中，多借助形象，各项思维活动中，多借助形象，就训练了右脑就训练了右脑2021/6/41 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法 第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积 第四节第四节 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 第五节第五节 功功 水压力和引力水压力和引力 第六节第六节 平均值平均值 第三节第三节 体积体积 2021/6/42 第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法求由求由 和和所围成的曲边梯形的所围成的曲边梯形的面积面积A须经过以下四个步骤：须经过以下四个步骤： （（2））近似替代近似替代：： （（4））取极限：取极限：（（3））求和：求和：（（1））分割分割: 设第设第i个小曲边梯形的个小曲边梯形的 则：则：分成分成n个小区间，个小区间， 把把面积为面积为2021/6/43 在上面的问题中，在上面的问题中，所求的量所求的量面积面积A有如下性质有如下性质：：（（1））A是一个与变量是一个与变量x的区间的区间[a,b]有关的量；有关的量；（（2））A对于区间对于区间[a,b]具有可加性具有可加性，即整个曲边梯形的面，即整个曲边梯形的面积积 等于所有小曲边梯形面积的和。
等于所有小曲边梯形面积的和 即：即： 高阶的无穷小，高阶的无穷小， 精确值，精确值， 它们只相差一比它们只相差一比近似代替部分量近似代替部分量（（3）以）以时，时，的极限就是的极限就是A的的 因此和式因此和式 2021/6/44 （（3）写出）写出A的积分表达式，即：的积分表达式，即：求求求求A A的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下：（（1）确定积分变量）确定积分变量x及积分区间及积分区间[a，，b]；；的近似值的近似值 即：即：以以（（2）在）在 [a,b]上任取小区间上任取小区间 作为作为叫做叫做面积元素面积元素, 记为记为 2021/6/45 具体步骤是：具体步骤是：（（1 1））确定积分变量，和它的变化区间确定积分变量，和它的变化区间[a,b]；；（（2）写出积分元素）写出积分元素（（3）写出）写出 U 的积分表达式，即：的积分表达式，即： 一般地，一般地，如果某一实际问题中的所求量如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：符合下列条件： （（1））U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间[a，，b]有关的量；有关的量； （（2））U对于区间对于区间[a，，b]具有可加性；具有可加性； 的近似值可表为的近似值可表为 （（3）部分量）部分量 可以用积分来表示。
可以用积分来表示 那么这个量就那么这个量就 2021/6/46 第二节 平面图形的面积第二节 平面图形的面积 一、直角坐标情形一、直角坐标情形一、直角坐标情形一、直角坐标情形 二、二、极坐标情形极坐标情形极坐标情形极坐标情形 2021/6/47 一、直角坐标情形一、直角坐标情形X型型在在 上任取小区间上任取小区间 则则 X型型 cdxyY型型Y型型 在在 上任取小区间上任取小区间 则则 2021/6/48 例１例１计算由计算由所围成的图形的面积所围成的图形的面积 和和 得抛物线的两个交点得抛物线的两个交点 解解解方程组解方程组11故所求面积为故所求面积为 ，，取取x为积分变量，积分区间为为积分变量，积分区间为在在 上任取小区间上任取小区间 面积元素为面积元素为 注：注：注：注：所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即 2021/6/49 例２例２ 计算抛物线计算抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的 图形的面积图形的面积。
解（解（1）），， 得交点得交点 解方程组解方程组 以以y为积分变量，积分区间为为积分变量，积分区间为[-2,4]，，在在[-2,4]上任取小区间上任取小区间[y,y+dy],面积元素为面积元素为 所求面积为：所求面积为： 注：注：注：注：若将所求图形的面积看成两个曲边梯形的面积之差：则若将所求图形的面积看成两个曲边梯形的面积之差：则 2021/6/410 注：注：注：注：如果取如果取x为积分变量为积分变量 不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！不好！在在 上任取小区间上任取小区间 则则 X型型 2021/6/411 补充例题：补充例题：求曲线求曲线 y =ln x, x =2及及 x 轴，轴， 所所 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积解：解：按照按照X型，型，Y型计算都可以型计算都可以按按X型：型： 按按Y型：型： 12x=2 y=lnx x y O 12 x=2 y=lnx x y O2021/6/412 例例3 求椭圆求椭圆 所围成的图形的面积。
所围成的图形的面积 则椭圆的面积为则椭圆的面积为解：解： 设椭圆在第一象限部分的面积为设椭圆在第一象限部分的面积为利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程则：则：应用定积分换元法，令应用定积分换元法，令 2021/6/413 问题问题:当曲线是以参数形式给出时，该如何计算平面图形的面积？当曲线是以参数形式给出时，该如何计算平面图形的面积？cdxyy+dyy2021/6/414 1 1 1 1．极坐标系．极坐标系．极坐标系．极坐标系 ，过，过 点引射线点引射线 度度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了确定了 叫做叫做极点极点极点极点，射线，射线 叫做叫做极轴极轴极轴极轴 在平面内任取一定点在平面内任取一定点 ，再规定一个长，再规定一个长 一个一个极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系其中，定点其中，定点 在极坐在极坐标标系下，平面上任一点系下，平面上任一点 的位置就可以用的位置就可以用线线段段 的的长长度度 及从及从 到到 的角度的角度 来确定。
有序来确定有序实实数数对对 就称就称为为 点的点的极坐极坐极坐极坐标标标标，，记为记为 叫做叫做极径极径极径极径，， 叫做叫做极角极角极角极角极点的极径的极径为为 ，极角可取任何，极角可取任何值值 其中其中 补充：极坐标补充：极坐标补充：极坐标补充：极坐标 2021/6/415 对于给定的极坐标对于给定的极坐标 ，平面上有唯一的点与之对应；，平面上有唯一的点与之对应；但但 ，则，则 都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标 对于平面上的点对于平面上的点 之间，一般没有一一对应的关系之间，一般没有一一对应的关系 因此，平面上的点与有序实数对因此，平面上的点与有序实数对但若规定但若规定，除极点，除极点 外，平面上的点外，平面上的点与极坐标与极坐标 之间就一一对应了之间就一一对应了 ，而极角可以，而极角可以取任意实数取任意实数在通常情况下在通常情况下,我们我们规定规定规定规定: : 2021/6/416 2 2 2 2．极坐标方程．极坐标方程．极坐标方程．极坐标方程 以极点以极点 为圆心，以为圆心，以 为半径的的圆的极坐标方程为半径的的圆的极坐标方程: : 以点以点 为圆心，以为圆心，以 为半径的的圆的极坐标方程为半径的的圆的极坐标方程 曲线上点的极坐标曲线上点的极坐标 与与 之间的关系可以用式之间的关系可以用式 表示，表示， 称称 为曲线的极坐标方程。
为曲线的极坐标方程 过极点过极点O，且与极轴的夹角为，且与极轴的夹角为 的直线方程的直线方程 2021/6/417 特别地，当特别地，当 时，等速螺线的极坐标方程为时，等速螺线的极坐标方程为 从从 点出发的射线点出发的射线 绕绕 作等角速度作等角速度 转动，同时点转动，同时点 在在 上作等速上作等速 直线运动，点直线运动，点 (两种运动的合成两种运动的合成)运动的轨迹运动的轨迹 叫叫等速螺线等速螺线等速螺线等速螺线(阿基米德螺线阿基米德螺线) 的起点离的起点离 点的距离为点的距离为 ，则等速螺线的极坐标，则等速螺线的极坐标 若点若点 方程为方程为 设点设点 经过时间经过时间 后运动到后运动到 则则 所以所以 令令 注：注：注：注：附录附录Ⅱ中常用的曲线的极坐标方程中常用的曲线的极坐标方程 2021/6/418 3 3 3 3．极坐标与直角坐标的关系．极坐标与直角坐标的关系．极坐标与直角坐标的关系．极坐标与直角坐标的关系 ),(q qr以极点以极点 为圆心，以为圆心，以 为半径的的圆的极坐标方程为半径的的圆的极坐标方程: : 以点以点 为圆心，以为圆心，以 为半径的的圆的极坐标方程为半径的的圆的极坐标方程 2021/6/419 二二二二. . 极坐标情形极坐标情形极坐标情形极坐标情形求这个曲边扇形的面积求这个曲边扇形的面积: : 所以曲边扇形的面积为：所以曲边扇形的面积为： 设由曲线设由曲线及射线及射线围成一图形（称为围成一图形（称为曲边扇形曲边扇形）。
圆扇形面积公式为圆扇形面积公式为 在在 上连续，且上连续，且 假设假设 面积元素为：面积元素为： 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 任取小区间任取小区间 积分区间为积分区间为 2021/6/420 O2021/6/421 解：解：积分变量为积分变量为积分区间为积分区间为 在此区间上任取小区间在此区间上任取小区间 面积元素为面积元素为 于是所求面积为于是所求面积为:例例4 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 上相应于上相应于从从0 变到变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积的一段弧与极轴所围成的图形的面积 2021/6/422 补充例题：补充例题： 计算计算所围成的图形阴影部分的面积所围成的图形阴影部分的面积 解解如图所示，这个图形关于极轴对称，如图所示，这个图形关于极轴对称，所求图形的面积为所求图形的面积为 A. 面积为面积为设极轴以上部分图形设极轴以上部分图形2021/6/423 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。
