张量分析第一章.ppt

1,张量分析与连续介质力学,,授课对象:工程力学本科生 学时: 48 任课教师： 任会兰 副教授,2,连续介质力学 研究对象:大量粒子构成的系统的宏观力学行为.,,,可视为连续体,统计平均值,,,宏观物理量随物质点的变化而改变----场(应力场,应变场,速度场,位移场和温度场……,连续体模型—固体,流体,3,,1)变形几何和运动学 研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化的物理量的时间变化率. 2)连续介质满足的物理基本定律 质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程 描述各种连续介质模型对外部作用的响应;,4,课程内容,第一章 连续介质力学中的数学模型,第二章 应力分析,第三章 连续介质运动学,主要掌握:张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等,主要掌握:应力张量,应力张量的对称性,变换规律,主应力,主,方向,剪应力,应力偏张量等,5,第四章 连续介质力学基本定律,第五章 本构方程,主要掌握:物质坐标与空间坐标,物质导数,随波导数,速度张,量,速度分解定理等.,三大守恒定律:质量守恒,动量守恒,能量守恒,状态方程,熵,不等式,热力学两大定律.,本构概念,本构方程遵循的一些理论,6,考核方法：平时作业和出勤情况占 30％； 期末考试占70％。

参考书目： 1) 冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社 2) 吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技 大学出版社,7,1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念,重点掌握:,第一章 连续介质力学的数学基础,8,1.1 矢量 1.1.1矢量的概念 在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向的有向 线段. 矢量的表示 粗体字或字母上箭头 矢量相等 大小和方向相同 单位矢量 大小为1 零矢量 大小为0,第一章 连续介质力学的数学基础,9,图形表示,用三个有序数组表示,矢量大小,矢量,分量:,10,(1) 矢量和 (平行四边形法则),(2)矢量差,(3) 矢量与标量的积满足结合律和分配律,,,a,ma,1.1.2 矢量和,差与积,11,点积满足,(4)矢量的点积,标量,12,注意:,(5)矢量的叉积,13,(6)并矢,定义,展开共9项， 可视为并矢的基,为并矢的分解系数或分量,14,,,自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中) 哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或为哑标.,1.1.3 Einstein求和约定 在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标在它的范围上遍历求和.,如,15,(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是一种约定的求和标记.,(2)连续介质的研究对象是三维连续体,,取值范围为1,2,3,几个注意事项:,,16,(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次.,应写成,(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现,则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和.,,,17,(5) 不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以改变.,,,如,,Wrong,Right,18,(6) Kronecker 符号 Delta,几个重要式子:,19,20,例:,,分量形式:,,,,,21,1, 当,是1,2,3的偶排列123,231,312,-1,当,是1,2,3的奇排列 132,321,213,0,当,中有取值相同者.,,1.1.4 置换符号,,1,2,3,,,1,2,3,,偶排列,奇排列,22,,矢量叉积,用置换符号可写成,23,1.1.5三矢量之积,三矢量标量积(混合积),,,,b,a,bxc,,,,,,,,,,,c,三矢量叉积,24,,1.2 恒等式,第一种证明:,(利用了行列式的定义),25,令 上式得:,根据求和约定得:,26,第二种方法:,利用双重外积公式,将 代入上式 ,可得:,将上两式代入,移项,得,由 的任意性,可证明,27,第三种证法:,混合积的行列表达式有:,,28,1.3 张量,张量 是数学上或物理上所用的概念.应力,应变等 当坐标系改变时，满足特有的转换规律。

两个向量,可以写成:,表示坐标转换的夹角的余旋,29,当组合两个向量时，可得到,左边,右边,,,,,30,换一种表示方法,有,这样，得到一个量 具有分量 定义此量为（笛卡尔） 2阶张量,31,笛卡尔坐标系,基矢量,1.3.2笛卡尔坐标变换,,平移旋转后,32,矢量OP在不同坐标系中的变换有:,或,用,点乘上式,得,或用,点乘,得,代表坐标系平移部分.,代表坐标系旋转部分.,,,质点的运 动变换,33,若,则有,矢量的坐标变换规律.,,1) 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;,2),34,正交性,3),35,1.3.2 张量定义,张量的定义: 张量的分量在坐标系变换时满足一定的变换规律.,,张量分量中所含指标的个数称为张量的阶. 在三维空间中,每个指标可取1,2,3之值.若张量的维数为N, 分量个数则为 3N,36,只有一个分量,且其值不随坐标系改变,即标量 是坐标变换下的不变量.,2)一阶张量( 矢量或向量),分量个数:3; 它们随坐标系变换的规律,满足,1) 零阶张量(即标量),或,37,4) N阶张量,分量个数: 3N, 分量随坐标系的变换规律:,当指标又有附标时,可以简化符号,或,3)二阶张量(应力,应变),分量个数:9 ; 分量随坐标系的变换规律:,或,38,表示连乘符号:,或,这样,n阶张量的变换规律为:,由此张量定义得知,如在某直角坐标系下张量的所有分量都是零,则换到任一其他直角坐标系中,此张量的分量也都是零.这种分量都是零的站称其为零张量.,39,1.4 张量的运算,(1) 张量加减:阶数相同的张量可以加减,得到同阶的张量; 分量与分量相加减;,的定义是,由于 和 均为n阶张量,,因此 也是n阶张量.,40,(2) 张量与标量相乘:标量与每一个分量相乘,阶数相同,若 为n阶张量，则可证明 也是n阶张量。

的定义是,41,(3) 张量相乘:两张量 和 的张量乘积记为 .新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一个张量的每一分量的乘积组成.新张量的阶数等于相乘两个张量的阶数之和.,注意:上式中不只对 约定求和,而是要对 都约定求和.,42,分量形式:,若,,,一般情况,43,已知,分别是m阶和n阶张量,运用,张量乘积的定义证明,是 m+n阶张量.,练习:,44,(4)张量的缩并: 如果n阶张量 的两个指标相同时,应用求和约定,得到一个n-2阶的新张量 ,则该新张量称为原来张量的缩并.,当最后两个指标 相同时,记,下面证明 是n-2阶张量.,45,,,缩并有三种形式,例:,缩并,46,(5)张量的内积: m阶张量 和n阶张量 的乘积 , 缩并 一次后得到内积(阶数为m+n-2),规定:第一个张量的最后一个指标与第二个张量的第一个指标相同,这样张量的内积可以写成,注意,47,三个分量:,如果,则,例题:,写出,的分量.,或,48,(6)张量间的线性变换,设 线性变换 ,对于任意一n阶张量 ,都对应一个确定的m阶张量 ,变换是线性的;即 的每一个分量可通过 的分量的线性组合表出,再假定变换是齐次的(零张量仍变到零张量)则线性变化 的一般形式为,49,证明,为m+n阶的张量.,由于,的任意性,上式给出,由此证明了,是二阶张量.,所有的n阶张量组成一个3n维的线性空间.而每一个m+n阶张量可看成是由n阶张量到m阶张量(由3n维空间到到3m维空间)的线性变换.,50,“张量识别”定理:,,如果,恒成立,已知,是m阶张量,,是n阶张量,则,必是m+n阶张量.,运用该定理,可以不必验证张量分量的变换规律是否满足,就能判断一些量是否是张量.,是一阶张量,由张量识别定理可知 是二,阶张量.,例:,恒成立,51,1.5 微分矢量算子(Hamiltonian),特点: 1)矢量,遵循矢量运算的法则;2)算子,只对 右边的量发生微分作用,对于 左边的量不产生作用.,对于标量场f,对于两个标量f和g,52,几个常用的 算子符号,（１）对于一个向量a和 组成的点积算子,对于标量f，有,（２）对于一个向量a和 组成的叉积算子,53,对于标量f，有,,（3）Laplacian 算子,54,向量a、b 、 标量f, 几个关系式,55,力学中：,几何方程与位移场的梯度有关;,转动量与位移场的旋度有关;,平衡方程与应力场的散度有关;,1.6 场,梯度,散度,旋度,56,场: 在数学上是指定义在空间某个区域内的函数.,若所定义的函数为标量 即为标量场;同理可定义矢量场或张量场.,为空间点的矢径或称位置矢量.,密度场,速度场,为时间.,,,,,,标量场,等位面的相互位置,疏密程度可以描述标量函数的变化情况.,,,,57,梯度:,性质: (1)梯度 描述了了一点邻域内函数 的变,化状态,是标量场不均匀性的量度.,(2)方向与等位面法线 重合,大小,(3)梯度方向是函数变化最快的方向.,直角坐标系中描述:,58,散度定义:,直角坐标表达式:,矢量 穿过整个曲面S的通量,定义散度,奥高公式,59,旋度定义:,矢量 沿曲线L的环量并除以曲面的面积,然后令L向P点收缩,使之S趋于零,如果这个极限存在则定义一个量,量 是矢量旋度 在n方向的投影.,可表示成行列式,60,梯度,散度,旋度,61,分量形式,,指标形式,,62,例: 证明下式成立,证明:,分量形式成立,则原式成立.,63,证明下式成立:,左边:,64,右边:,左边和右边分量相等,可知原式成立.,65,1.6 张量的微分运算,(1) 张量的梯度,简记为,张量的全微分为,是n阶张量,,是一阶张量,,由张量识别定理知,是n+1阶张量.,梯度,n+1阶张量,66,(2) 张量的散度,由梯度 缩并得到 n-1 阶张量.,定义为,(3) 奥高公式,67,对于向量 而言,有奥高公式,推广到张量的情形.,取 (f为有,记 为沿 轴的单位向量.,分段连续偏微商的任意函数).代入得,68,讨论：,1、标量场,2、矢量场,69,推广到任意阶张量的情形：,其不变性记法为 :,称为广义高斯公式，或称散度定理。

70,1.7 各向同性张量,1. 各向同性张量的定义 一个张量,如其每一个分量都是坐标系作刚体旋转变换下的不变量,则称它是各向同性张量.,由此得出下述推论成立:,71,2 四阶以下各向同性张量的讨论,零阶张量(标量)都是各向同性的. 一阶张量(向量) ,除零向量外,都不是各向同性的.,72,3) 二阶各向同性张量必为 的形式, 为一标量.,由于,可知 是各向同性的 二阶张量.,如 是任一个二阶各向同性张量,则,73,4) 三阶各向同性张量必为 的形式, 为标量.,由于,知 是三阶各向同性张量.,是任一各向同性的三阶张量,则,(a) 绕 轴转 ,即取 为,(2),74,(b) 绕 轴转 ,即取 为,代入( 2)中计算得:,经过偶排列,得,(a)和(b)的结论合在一起,即给出,(3),75,(5) 四阶各向同性张量的形式必为:,,,,(4),,76,,77,78,79,1.8 二阶张量的性质,转置张量,正交张量,对称张量,反对称张量,任何张量，可分解成对称张量和反对称张量．,80,对称张量中特殊情况：对角张量和单位张量,对于对称张量,只有六个分量独立.反对称张量,只有三个分量独立.,,81,二阶张量的极分解,82,83,84,85,86,二阶张量的主值和主方向,若下式成立。