高数一知识点[教育材料].doc

第一章~~第三章一、极限　数列极限函数极限，，，，求极限（主要方法）：（１）（２）等价无穷小替换（P76）当时， 代换时要注意，只有乘积因子才可以代换3）洛必达法则（），只有可以直接用罗比达法则幂指函数求极限：；或，令，两边取对数，若，则结合变上限函数求极限二、连续　左、右连续　　　函数连续函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论三、导数　左导数　　　右导数　　　微分　　　　　可导连续　　可导可微　　可导既左可导又右可导求导数：（１）　复合函数链式法则（２）　隐函数求导法则两边对求导，注意、是的函数3）参数方程求导　　四、导数的应用　（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）（２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性）第四章 不定积分原函数　　不定积分 基本性质　　或　　　　　　　或　(分项积分)　基本积分公式(1) ; (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 　　9. 求不定积分的方法1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。

2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）　　　　　　　　第二类换元法（变量代换法）（注意回代）换元的思想：主要有幂代换、三角代换、倒代换3． 分部积分法的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数第五章　定积分一、概念1. 定义 2. 性质： 设、在区间上可积，则定积分有以下的性质.(1). ；(2). ；(3). ；(4).　若在上，，则；推论1. 若在上，，则推论2. （）(5). 若函数在区间上可积，且，则(6).（定积分中值定理） 设在区间上连续，则存在，使．3. 积分上限函数及其性质(1)．，或；(2)．如果，则. (3). 如果,则.4. 广义积分(1). 无穷限积分．．收敛的充分必要条件是反常积分、同时收敛，并且在收敛时，有．(2). 瑕积分为瑕点 为瑕点 为瑕点 则收敛 与均收敛，并且在收敛时，有二、计算（一） 定积分的计算1、微积分基本公式：设函数在区间上连续，且，则 ， 牛顿-莱布尼兹（N-L）公式2、换元法：设函数在区间上连续，函数满足： ① 在区间上可导，且连续； ② ，，当时，，则3、分部积分法：， 或．4、偶倍奇零： 设函数在区间上连续，则5、．6、分段函数的定积分。

二） 与积分上限函数相关的计算（三） 广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限）三、定积分的应用（一）几何应用1、 平面图形的面积（1）直角坐标　， 　或（2）参数方程　若与及x轴所围成的面积，　分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值3）极坐标　　由曲线所围的曲边扇形的面积2、 旋转体的体积 （1）直角坐标:由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一 周的旋转体的体积 由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体的体积（2）参数方程 由与及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的旋转体的体积3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）（1）直角坐标　（2）参数方程　（3）极坐标　　（二）物理应用（步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）阿基米德螺线 心形线双纽线 摆线 第六章 微分方程一 、内容小结：（一）、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二）、解的结构齐次线性 非齐次线性 1、是（*）的解，则也是(*)的解；若线性无关，则为（*）的通解）2、是（* *）的解，则是对应齐次线性方程的解是（*）的通解，是（* *）的解，则是（* *）的通解(三)、解方程：判别类型，确定解法。

一阶，二阶二、一阶微分方程求解1、可分离变量方程 或 或 解法：先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程 则或者 解法： 3、一阶线性微分方程 齐次线性 非齐次线性 三、二阶微分方程求解(一)、可降阶情形1、2、不显含y的二阶方程 解法：3、不显含x的二阶方程 解法：(二)、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程 （其中为常数） 特征方程 特征根 且为实根,则微分方程通解为 为相等实根,则微分方程通解为 为一对共轭复根,则微分方程通解为 2、二阶常系数非齐次线性微分方程 ,（为常数，是m次多项式） 其具有特解形式其中为与同次的多项式,1基础教育a。