高等几何课程论文交比在射影几何中的重要地位.doc

交比在射影几何中的重要地位交比在射影几何中的重要地位摘要摘要：本文首先通过交比给出各种射影概念及定理，阐明了交比在射影几何中的重要地位，并得出了利用交比求二次曲线的方法.并结合例题给予讲解，使交比的重要作用显现出来关键词：关键词：交比 射影几何 射影变换 二次曲线交比是射影几何中的唯一基本不变量，是射影几何的一个至关重要的概念和工具．在高等几何教学中抓住交比这个基本不变量，可以加深对射影几何的理解，下面就从射影几何中的几个最重要问题，来说明交比在射影几何中的重要地位．一、一、 交比交比（（1 1））点列中四点的交比点列中四点的交比 交比的概念是射影几何学的中心概念，我们定义好圆上四个点的交比，圆锥曲线上四个点的交比，圆锥曲线上四条切线的交比等等之后，我们也能够研究它们的射影几何了 定义 1.1.1 共线四点A,B,C,D的交比定义为两个单比（ABC）与（ABD）的比，记为 ABDABCCDAB,其中A,B两点称为基点，C,D两点称为分点根据交比的定义有 ADBCBDACBDADBCACABDABCAB,CD不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。

现在来讨论改变点的顺序时，交比所发生的变化定理定理 1.1.11.1.1 两基点与分点交换，交比的值不变即 AB,CDABCD,定理定理 1.1.21.1.2 只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数即 CDABAB,DCCDBA,1,定理定理 1.1.31.1.3 交换中间两字母顺序或交换两端的两字母顺序所得的交比值与原AB,CD来交比值和为常数 1，即 CDABDB,CABDAC,1,共线四点 A,B,C,D 可有 种不同的排列由定理 4.1～4.3 可得 24 个交比值只24! 4 有 6 个不同的取值：⑴ ，   mBADCABCDDCBACDAB,,,,⑵ ，   mABDCBACDCDBACDAB1,,,,⑶ ，   mCADBDBCAACBDBDAC1,,,,⑷ ，   mACDBBDCACABDDBAC11,,,,⑸ ，   mmCBDADACBADBCBCAD1,,,,⑹ 。

   1,,,,mmBCDAADCBDABCCBAD由交比定义及其性质可知，若已知四个不同的共线点中的三点及其交比值，则第四点唯一确定我们知道，共线的三点的单比可以由三点的坐标表示，共线四点的交比也可由坐标来表示定理定理 1.1.41.1.4 一直线上的无穷远点分其上任何亮点的单比等于 1定理定理 1.1.51.1.5 已知两个不同的普通点为直线 AB 上一点，且    tbaPbBaA,,,则ABP33 abt推论推论 1.1.11.1.1 若共线四点为，则     btaDbtaCbBaA21,,,21,ttCDAB其中02121tttt推论推论 1.1.21.1.2 若共线四点的坐标分别为,则DCBA,,,btabtabtabta4321,,, 41324231,ttttttttCDAB其中互不相等4321,,,tttt例例 1.1.11.1.1 已知共线四点，求的值   5, 5 , 1,0 , 0 , 1,1 , 1, 1,1, 1 , 2DCBACDAB,解 设 BtA DBtAC21,则 0, 51512, 01012222111  mtttttmt其中解得23, 121tt所以32,21ttCDAB在共线四点的交比中，交比值为-1 的情况十分重要，若，则称1,CDAB调和分离,或称与调和共轭。

交比值-1 叫做调和比DC,BA,BA,DC,（（2 2））线束中四条直线的交比线束中四条直线的交比定义 1.2.1 若为线束中的四条直线，则dcba,,,S  dacbdbca abdabccdab,sin,sin,sin,sin,叫做的交比，其中叫基线，叫做分线dcba,,,ba,dc,定理定理 1.2.11.2.1 若线束中的四条直线被任意一直线截于四点，则Sdcba,,,sDCBA,,, cdabCDAB,,与点列交比像是，可以得到线束交比的性质，共点四直线的交比也有 24 个交比值，分为六类，每类中四个交比值相等定理定理 1.2.21.2.2 若为四条不同的普通共点直线的齐次坐btabtaba21,,,4 , 3 , 2 , 1ili标，则 41324231 4321,ttttttttllll其中彼此互不相等4 , 3 , 2 , 1iti定理定理 1.2.31.2.3 交比经中心射影后不变，即交比为射影性质例例 1.2.11.2.1 设是完全四点形 ABCD 的一对对边,它们的交点是点 X,若 X 与'ss和其它二对边点的连线是,则有',tt1,''ttss证明：如图，根据定理 1.2.3，有 PZDCPZAB,,同理 PZBAPZDC,,所以 PZBAPZAB,,而PZABPZBA,1,所以1,2PZAB因此1,PZAB根据定理 1.2.3，有 1,''ttss二、二、 用交比表示射影坐标用交比表示射影坐标定义定义 2.1.12.1.1 在直线上取定三个不同点,设为这条直线上任意一点，则点EAA,,01P和确定一个交比PEAA,,01EPAA,,01反过来，对于一个实数，也有唯一的点与之对应。

我们称为点在射影坐标系PP下的坐标EAA,,01这样定义的射影坐标称为非齐次的，若，则称为点的齐次射影坐标21 xx21,xxP对任意的数坐标，和代表同一点，不代表任何点021, xx21,xx0 , 0特别地，当规定为直线上的无穷远点的齐次坐标0012xx时例例 2.1.12.1.1 设与坐标三点形中的对边相交于则3 , 2 , 1,iEAPAiiiAiiEP, 323322121312131121113111311132 113211132:,sin,sin,sin,sin,,xxepepEAe PApPAp EAePAAAEAAAPAAAEAAAPEAAAPEAA  类似有  213321132213 :,:,xxPEAAxxPEAAst¡äs¡ätQLYCAXZBDMP三、三、 交比与射影变换交比与射影变换定义定义 3.1.13.1.1 如果两个一维基本型之间的一一对应保持交比不变，则称这样的对应为两个一维基本型之间的射影变换定义定义 3.1.23.1.2 如果平面到自身的一一对应保持结合性不变，交比不变，则称该对应为平面的直射变换。

四、四、 用交比定义二次曲线用交比定义二次曲线如果两个不同心的并且成一一对应的线柬保持交比不变，则这两个线束对应直线交点的轨迹是一条过二心的二次曲线由于保持交比不变的变换是射影变换，所以上述定义是二次曲线的射影定义的等价定义五、用交比确定射影平面上点的位置五、用交比确定射影平面上点的位置利用交比可以在射影平面的扩大仿射平面模型上解决下面的作图问题：1)已知点的射影坐标，用交比求作点，xx2)已知点，在给定射影坐标系下用交比几何地求出点在下的射影坐标xx这两个作图问题依赖于下述基本作图l.已知共线三点，求作点，使及实数cba,,xxcab:2.已知共线三点上的任一点，用交比表示有向线段的值bacba及,,xxcab:综上所述可见，在高等几何学习中，抓住交比这个唯一基本不变量进行学习，这样能使我们对射影理论有更系统深入的理解，而且还能培养我们用交比作为工具去分析和解决问题的能力参考文献参考文献[1]李修昌 《高等几何》 哈尔滨工业大学出版社 [2]张小林 《交比、调和比》 高等教育出版社 [3]朱德祥 《高等几何》 高等教育出版社 。