角和角的比较知识归纳及习题.pdf

1角(基础) 知识讲解【高清课堂：角397364 角的概念】要点一、角的概念1 . 角的定义：(1) 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 如图 1 所示，角的顶点是点0, 边是射线 0A、( 2 )定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部 . 如图 2 所示，射线 0A 绕它的端点 0 旋转到 0B 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置0A 是角的始边，终止位置0B 是角的终边 . 要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. (2)平角与周角：如图1 所示射线 0A 绕点 0 旋转，当终止位置0B 和起始位置 0A 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转， 0B 和 0A 重 合时，所形成的角叫做周角 . c 一BOA平角周角閤1图21. 下列语句正确的是2A . 两条直线相交，组成的图形叫做角. B . 两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角. C. 两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角. D . 过同一点的两条射线组成的图形叫做角. 【答案】【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与有公共端点的两条射线”的重要区别. 举一反三：【变式】判断下列说法是否正确(1) 两条射线组成的图形叫做角( x )(2) 平角 是- 一条直线( x(3) 周角 是- 一条射线( x2. 角的表示法：角的几何符号用2 ”表示，角的表示法通常有以下四种: 斑方法関示吧记法适用范围(1)用三金大写字母表示*LBOA任件情况和it 用，表示顶点的字母写淮申闻(2)崩一个大岛亭母表亲/: 0以某一点始 M 点的績只有一芋时，可以用Tji 点表示AO殆數字表示衽何情况藕适用(4用和 t 宇母晨示- - 13要点诠释 : 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母 . 写出图中（1）能用一个字母表示的角；（2）以 B 为顶点的角；（3）图中共有几个角（小【答案与解析】解：（1）能用一个字母表示的角/ A、/ C. （2） 以 B 为顶点的角 / ABE、/ ABC、/ CBE . （3） 图中共有 7 个角. 【总结升华】（1）顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；（2） 般数角时不包括平角和大于平角的角. 已知：如图，在 / AOE 的内部从 0 引出 3 条射线，求图中共有多少个角？如分析：在 / AOE 的内部从 0 点引出 3 条射线，那么在图形中，以0 为端点的射线共 5条。

其中，任意一条射线与其他4 条射线都必构成一个角（小于平角的角）数角的时候要按一定的顺序，从0E 边开始数，这样可得到4+3+2+1 个角, 所以，这 5 条射线共组成角的个数为 10 个角4n（n 1）公式为：2同理，如果引出99 条射线，那么，以0 为顶点的射线共101条，构成的角的个数为5050 个已知：如图，在 / AOE 的内部从 O 引出 3 条射线，求图中共有多少个角？如分析：在 / AOE 的内部从 O 点引出 3 条射线，那么在图形中，以O 为端点的射线共5 条其中，任意一条射线与其他4 条射线都必构成一个角（小于平角的角）数角的时候要按一定的顺序，从OE 边开始数，这样可得到4+3+2+1 个角, 所以，这 5 条射线共组成角的个数为10 个角n（n 1）公式为：2 同理，如果引出99 条射线，那么，以O 为顶点的射线共101 条，构成的角的个数为 5050 个3?角的画法（1）用三角板可以画出30 45 60 90 等特殊角 . （2）用量角器可以画出任意给定度数的角. 用量角器量角和画角的一般步骤： 对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；重合 （一边与刻度尺上的零度线重合）： 读数（读出另一边所的度数）. （3）角的和、差关系：利用三角板除了可以做出30 45 60 90 外, 根据 角的和、差关系，还可以画出15 75 105 120 135 150 165 的角. 5要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角. 例如，图中射线OA 的方向是北偏东 60 射线 0B 的方向是南偏西30 这里的北偏东 60。

和南偏西 30（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示；（2） 方位角必须以正北和正南方向作为基准” 北偏东 60一般不说成东偏北30 ；（3） 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的十 字线”确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点 0 是观测点，所有方向线（射线 ）都必须以 0 为端点 . A 看 B 的方向是北偏东30, 那么 B 看 A 的方向是（）A . 南偏东 60B . 南偏西 60C. 南偏东 30D . 南偏西 30【答案】 D【解析】依题意画出示意图. 由图可知，图中 / 1 即表示从 A 看 B 的北偏东 30 / 2 是从 B 看 A 的方位角 . 由此可确定从B 看 A 是南偏西 30 : 北!?北：9 A I * I nl 6A : 东f I【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A 看 B 与从 B 看 A 正好是一对对立的7 观察过程，其方向是一种相反”的对应关系 . 方位角的确定首先以什么点为基点( 即 人站在此处观察 ) 要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来. 举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30。

的方向走了1000 米到达小军家，此时小王家在小军家的 _ 方向. 【答案】北偏西30 要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有 12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30的角，分针1 分钟转 6 时针每小时转30时针 1 分钟转 0.5 , 利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 4 时 15 分时针与分针的夹角.【答案与解析】如图( 1), / AOC = 30X1 = 30所以 / AOB = 37.5 即 4 时 15 分时针与分针的夹角为37.5【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二. 举一反三：【变式】 2 时 48 分时针与分针的夹角. 【答案】解法 2 : 如图(2) / BOD = 30X4= 120/ COD = 2X6= 12 ,8/ AOB = 48X0.5 = 24所以/ AOC = / BOD+ / COD+ / AOB = 156 .即 2 时 48 分时针与分针的夹角为156 要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1的角， 1 勺1为 1 分，记作“ 1/T 的1为 1 秒，记作“ 1. 这种以度、分、秒为60 60 单位的角的度量制，叫做角度制. 1 周角=360 1 平角=180 1= 60； 1 = 60.要点诠释 : 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减, 不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于 60 时要向高一位进位 . (1) 把 25.72 分别用度、分、秒表示把 45 12化成度【思路点拨】第(1)题中 25.72 中含有两部分25 和 0.72 , 只要把 0.72 化成分、秒即可 .第 题中， 45 12 含有三部分 45 12 和 30 : 其中 45 已经是度，只要把 12 和 30 化成度即可 . 【答案与解析】解：(1)0.72 =0.72 X 6043.2 / 0.2 = 0.2 X 6=12 :所以 25.72 = 25 43 . 12(2) 30 3011 。

600.5 , 12.5 12.5 0.219【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，越级”化单位容易出错. 举一反三：【变式】(1)把 26.29 转化为度、分、秒表示的形式；(2) 把 33 24转化成度表示的形式. 【答案】(1)26.29 = 26 +0.29 =26 +0.29 冷 20 +17.4 =26 +17 +0.4=2660 7 +26 17 24 (2) 33 24 = 33 +24 +36 殳 = 33 +24 +0.6 60 =33 +24.= 33 +24.6 X1= 33.41 60 【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算3、已知： / A=50o24 / B=50.24o ，/ C =50o14 24” 那么下列各式正确的是( ) A、/ A / B / C B、/ A / B= / C C、/ B / C / A D、/ B= / C / A 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种. 方法 1: 度量比较法 . 先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法 2 : 叠合比较法 . 把其中的一个角移到另一个角上作比较. 所以 45 12 30? 45.21 10如比较 / AOB 和/ A O 的大小：如下图，由图 ( 1) 可得/ AOB Z A O. B 114?角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 如图所示， 0C 是/ AOB 的角平分线， / AOB = 2/ AOC = 2 / BOC , 1 / AOC = Z BOC =丄/ AOB .2 要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 如图所示，已知0C 平分/ BOD，且/ BOC = 20 OB 是/ AOD 的平分线，求3.角的和、差关系如图所示， / AOB是/ 1 与/ 2 的和，记作： / AOB =Z 1 + Z 2; / 1 是/ AOB 与/ 2 的差，记作： / 1 = Z AOB- / 2 .13【答案与解析】解：因为 0C 平分/ BOD，且 / BOC = 20 所以/ BOD = 2/ BOC=2 20 = 40又 OB 是/ AOD 的平分线，所以/ AOD = 2 / BOD = 2X40= 80【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB 是/ AOC 的平分线，则/ AOB = Z BOC = 1/ AOC ; / AOC = 2/ AOB = 2/ BOC，在解题时要学2会灵活应用 . 举一反三：【变式】已知：如图，OM 是/ AOB 的平分线， ON 是/ BOC 的平分线， / AOC=80 , 【答案】T OM 平分/ AOB , ON 平分/ COB , 二 / MOB二1/ AOB，/ BON= * / BOC.( 角平分线的定义) ? / MON= / MOB+ / BON =1/ AOB+ 1/ BOC= 1 (/ AOB+ / BOC) 2 2 2 1 1 =丄/ AOC =丄30 =40 . 2 2 即/ MON=40 . 图中， / AOB= / BOC= / COD= / DOE，贝卩有(1) _ 2 =4 / AOB (2) _ 2= 2 =32 BOC 13如图，已知 / AOB= 90 ,/ BO&30, OM 平分/ AOC ON 平分/ BOC (1)求/ MON 勺度数；A(2)如果已知中 / AOB= 80 , 其他条件不变，求/ MON 勺度数(3)如果已知中 / BO&60, 其他条件不变，求 / MON 勺度数；(4)从( 1) 、(2) 、( 3) 中你能看出有什么规律？(1)因 OM 平分 / AOC 所以/ MO&丄/ AOC2 又 ON 平分/ BOC 所以 / NO& - / BOC2 所以/ MO 比/ 。