新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》.ppt

1.4.2 正、余弦函数的图像和性质 1.正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定义域值域周期性xRy - 1, 1 T = 2xyO1-1y=cosxy-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinx2.周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期可知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2k(kZ且 k0)都是它的周期，最小正周期是 2 由sin(x+2k)=sinx ; cos(x+2k)=cosx (kZ)注意：（1）周期T为非零常数2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。

的最小正周期的最小正周期例1 求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xR（2）y=sin2x，xR； 3.例题讲解 例1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？4.周期函数应用 结论：定义在R上的函数f(x)满足f(xa)f(x)=0或f(xa) =-f(x) 则f(x)是周期为2 2a a的周期函数. 例2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)=f(x1)，且当x0，2时，f(x)=x4，求f(10)的值.结论：定义在R上的函数f(x)满足f(xa)-f(x-b)=0或f(xa) =f(x-b) 则f(x)是周期为a a+ +b b的周期函数.y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxxyO1-1y=cosx奇偶性 一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数奇函数的图像关于原点对称 一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数偶函数的图像关于y轴对称。

1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR) 是奇函数cos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR)是偶函数定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数的单调性 y=sinx (xR)xyo-1234-2-31 x0 sinx-1 0 1 0 -1 余弦函数的单调性 y=cosx (xy=cosx (x R)R) x0cosx-1 0 1 0 -1yxo-1234-2-31单调性y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k (kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间2k，(2k+1) (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间 +2k, +2k (kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 +2k， +2k (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1. 例3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx1，xR； （2）y=3sin2x，xR. 例4 比较下列各组数的大小: 例5 求函数 ，x2，2的单调递增区间.当 cosx=1 即 x=2k （kZ) 时 ， y 取到最大值 3 . 解：解：由 cosx0 得：- +2k x +2k （kZ) 函数定义域为- +2k， +2k 由 0cosx1 12 +13 函数值域为 1 ， 3练：练：求函数y = 2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？ 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇函数偶函数 +2k, +2k,kZ单调递增 +2k, +2k,kZ单调递减 +2k, 2k,kZ单调递增2k, 2k + , kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间） 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例例2 2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在 上单调递减 +2k, +2k,kZ函数在 上单调递增 +2k, +2k,kZ (2) y=3sin(2x- ) 单调增区间为所以：解：单调减区间为 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解： (4) 解：定义域 (3) y= ( tan )sin2x单调减区间为单调增区间为当即为减区间。

当即为增区间 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 (5) y = -| sin(x+ )|解：令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=- |sinu|uO1y-1减区间为增区间为即：y为增函数y为减函数。