安徽省合肥市矾山中学2020年高三数学理测试题含解析.docx

安徽省合肥市矾山中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　  　)A．直角三角形　 B．等腰三角形C．等腰直角三角形　 D．正三角形参考答案：B2. 已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（　　）A．a＞1 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．a＜1参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0，虚部小于0，求得答案【解答】解：z=+=2a+（1﹣a）i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则，解得：0＜a＜1，故选：C．3. 已知是双曲线：的右焦点，是轴正半轴上一点，以 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点．若点，，三点共线，且的面积是面积的5倍，则双曲线的离心率为A.            B.            C.            D.参考答案：C4. 若∈R，使aex≤x（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（　　）　A．（﹣∞，0]B．C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，e]参考答案：B5. 一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差不为的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的中位数是（    ）A．           B．           C．            D．参考答案：A6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ▲ ）A．向右平移个单位        B．向右平移个单位 C．向左平移个单位        D．向左平移个单位 参考答案：A略7. 的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（   ）A．        B．            C．           D．参考答案：【知识点】向量在几何中的应用．F2 F3A   解析：因为3+4+5=，所以，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得，所以==．故选：A．【思路点拨】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．8. 若向量则=  A．（－2，－4）           B．（3．4）                C．（6，10）           D．（－6．－10）参考答案：9. 若集合，，（    ）．A．(－5,1) B．(1,4] C．[－3,－1) D．[－3,1)参考答案：D解：：，∴，∴，即．故选D．10. 在复平面内，复数对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数分母实数化，再化简即可．【解答】解： =故选D．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．　二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则关于的不等式的解集是_______参考答案：12. 已知，且，则的值为__________参考答案：13. 已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）=　　．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后将已知条件代入即可求出结果．【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=∴cos（）﹣sin2（α﹣）=﹣﹣=﹣．故答案为：﹣14. 有下列命题：①函数y＝cos(x－)cos(x＋)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数的图象关于点(－1,1)对称；③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx>1．其中所有真命题的序号是________．参考答案：③；④①函数y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相邻两个对称中心的距离为d＝＝，故①不正确；②函数y＝的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．15. 已知向量与的夹角是，，则_________________．参考答案：16. 在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.参考答案：     5【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，，有共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 17. 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为                             .参考答案：M,  （1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有 ＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，如图＜2＞：若G，H分别为D′B，D′E的中点．（Ⅰ）求证：GH⊥D′A；（Ⅱ）求三棱锥C﹣D′BE的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，ED=4，连结BE，GH，在三角形AED′中，可得ED′2=AE2+AD′2，可得AD′⊥AE，DC==2，AC=2，可得AC2+AD′2=CD′2，可得AD′⊥AC，因为AE∩AC=A，所以AD′⊥平面ABCD，可得AD′⊥BE，G，H分别为D′B，D′E的中点，可得GH∥BE，所以GH⊥D′A．（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积为V．则V==×2=．19. 已知函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形⊿ABC中，若f(A)=1，求⊿ABC的面积．参考答案：1.     220. （本小题满分12分）在中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线与直线互相平行（其中）.（I）求角A的值，（II）若的取值范围.参考答案：略21. (本小题满分12分) 已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列 的前三项.（Ⅰ）分别求数列，的通项公式;（Ⅱ）设若恒成立，求c的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列、等比数列的公差与公比，且由分别加上1，1，3有…2分          …………4分                   …………6分（II）①②①—②，得                     …………8分 ………………9分 在N*是单调递增的，∴满足条件恒成立的最小整数值为  ………………12分22. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如下图的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的合格率（60分及60分以上为合格）；（Ⅲ）把90分以上（包括90分）视为成绩优秀，那么从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，求此人成绩优秀的概率．参考答案：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：直方图如右所示（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为所以，抽样学生成绩的合格率是%.（Ⅲ），， ，”的人数是9，18,15,3.所以从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，该生是优秀学生的概率是  略。