第9讲圆的基本性质教师版.doc

2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 1 of 16第九讲第九讲圆的基本性质圆的基本性质中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能 利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角 的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单 问题能运用圆的性质解 决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直 径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知 识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题知识点睛一、圆的基本概念圆的定义圆的定义1． 描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的OAOA 图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．OOA2． 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3． 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．⊙OOAO⊙O 4． 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够 重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧弦和弧1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．23． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．AB、»ABAB5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 2 of 16二、垂径定理圆圆的的对对称性称性 圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆 是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余 三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中； ②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等． ⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴． 圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理垂径定理 1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2． 推论 1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3． 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．222( )2ardardra2dOCBA2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 3 of 16重、难点重点：重点： （1）揭示圆有关的本质属性 （2）垂径定理的探索及其应用 难点：难点： 垂径定理探索及其应用例题精讲一、圆的基本概念【【例例 1】】 判断题：判断题： ⑴⑴ 直径是弦直径是弦 ( ) ⑵⑵ 弦是直径弦是直径 ( ) ⑶⑶ 半圆是弧半圆是弧 ( ) ⑷⑷ 弧是半圆弧是半圆 ( ) ⑸⑸ 长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧 ( ) ⑹⑹ 等弧的长度相等等弧的长度相等 ( ) ⑺⑺ 两个劣弧之和等于半圆两个劣弧之和等于半圆 ( ) ⑻⑻ 半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆 ( ) ⑼⑼ 两个半圆是等弧两个半圆是等弧 ( ) ⑽⑽ 圆的半径是圆的半径是，则弦长的取值范围是大于，则弦长的取值范围是大于且不大于且不大于 ( )R02R 【解析】√；×；√；×；×；√；×；√；×；√． 【【【【学生刚开始接触圆，基本概念一定要清晰，老师在讲完概念以后可以再补充几道判断题让学生快速 口答．【【例例 2】】 下列下列判断中正确的是判断中正确的是( )A．． 平分弦的直线垂直于弦平分弦的直线垂直于弦B．． 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．． 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．． 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧，答案是 C．【【例例 3】】 如图，在两半径不同的同心圆中，如图，在两半径不同的同心圆中，，则，则( )''60AOBA OB A．． »¼''ABA BB．． »¼''ABA B2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 4 of 16C．． 的度数的度数的度数的度数»AB¼''A BD．． 的长度的长度的长度的长度»AB¼''A BB'A'BAO【解析】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而，所以的度数＝''60AOBA OB »AB 的度数．所以答案是．¼''A BC【【巩固巩固】】在同圆中，在同圆中，的度数小于的度数小于，且，且，那么弦，那么弦和弦和弦的大小关系为的大小关系为( )»CD180»»2ABCDABCD A．． B．． C．． D．无法确定．无法确定ABCDABCDABCDD(C)BAD(C)BAD(C)BA【解析】D．如图当的度数为时，；当的度数大于时，，当的度数小于»CD120ABCD»CD120ABCD»CD 时，．120CDAB【【例例 4】】 如图，点如图，点在半圆在半圆上，四边形上，四边形均为矩形，设均为矩形，设，，ADGM、、、OABOCDEOFHMNO、、BCa ，，则下列格式中正确的是则下列格式中正确的是( )EFbNHc A．． B．． C．． D．． abcabccabbcaONMHGFEDCBA【解析】连结OMODOA、、由矩形对角线相等可知，OMNHcODEFbOABCa，， 又，OMODOA ∴．abc 选 B．【【巩固巩固】】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为，则该半圆的半径为______．．216cm2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 5 of 16【解析】如图，连两条半径 由已知小正方形半径为，设大正方形半径为4cm2x则，整理得222544xx2280xx解得(舍去)1242xx ， ∴大正方形半径为8cm则半圆的半径为．4 5cm三、垂径定理 【【例例 5】】 (09 湖南娄底湖南娄底)如图，如图，是是的弦，的弦，于于交交于于，则下列说法错误的是，则下列说法错误的是 ( )ABO⊙ODABDO⊙EA．．B．．C．．D．．ADBDACBAOE »»AEBEODDEOEDCBA【解析】D．【【巩固巩固】】若若中等于中等于的劣弧所对的弦长为的劣弧所对的弦长为，则，则的半径是的半径是_______．．O⊙12012 3O⊙ 【解析】．12【【巩固巩固】】(07 年枣庄中考题年枣庄中考题)如图，如图，是是的直径，的直径，是弦，是弦，于于，交，交于于．．ABO⊙BCODBCE»BCD ⑴⑴ 请写出五个不同类型的正确结论；请写出五个不同类型的正确结论； ⑵⑵ 若若，，，求，求的半径．的半径．8BC 2ED O⊙OEDCBA【解析】⑴ 不同类型的正确结论有：①；②；③；④；BECE»»BDCD90BEDBODA  ⑤，⑥；⑦；ACOD∥ACBC222OEBEOB ⑧；⑨是等腰三角形；⑩等ABCSBC OEBODBOEBAC∽2010 年·暑假 初三数学·第 9 讲· 教师版 page 6 of 16⑵ ∵， ∴．ODBC142BECEBC设的半径为，则．O⊙R2OEODDER在中，由勾股定理得Rt OEB ，即，解得．222OEBEOB222(2)4RR5R 【【例例 6】】 (2006 年青岛市年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的，求这个圆形截面的半径．半径．【解析】(1)正确作出图形，并做答． (2)过 O 作 OC⊥AB 于 D ，交弧 AB 于 C，∵OC⊥AB ， ∴BD＝AB＝×16＝8cm．1 21 2 由题意可知，CD＝4cm． 设半径为 x cm，则 OD＝(x－4)cm． 在 Rt△BOD 中，由勾股定理得： OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2． ∴x＝10． 即这个圆形截面的半径为 10cm． ．【【例例 7】】 如图如图所示，所示，在在中中，，，，，若以，若以为为圆圆心、心、的长为半径的圆交的长为半径的圆交Rt ABC90C2AC 1BC CCB 于于，则，则 ．．ABPAP PCBAM PCBA【解析】过作于，即，设为，CCMPBMMPMBMBx中，有，，Rt ABC223ABACBCABCBM。