2011届高三数学一轮复习1-3命题及其关系课件理苏教版.ppt

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析命题的相互关系．,第3课时 命题及其关系,【命题预测】 1．四种命题及其关系虽是高考命题的内容之一，但一般不单独命题，往往和其 他知识结合起来综合考查，主要以填空的形式出现． 2．充分条件与必要条件是对命题进行研究和考查的重要途径，而命题是数学的 重要构成形式，因而这部分知识是高考的必考内容，几乎每年都考查，一般以 填空的形式出现，主要考查逻辑思维能力，往往和其他知识综合起来考查． 3．反证法是证明命题的基本方法，在高考中对这一方法的考查主要体现在将它 作为解题工具的一种辅助作用，一般不单独考查反证法，而经常把它融入一些 题目中去．,【应试对策】 1．当判断一个命题的真假有困难时，可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假． 2．关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述： (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 3．逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非” 的意义是不尽相同的，要结合真值表加以理解．另外，结合集合的并集、交集、 补集来理解联结词，它们的定义分别使用“或”、“且”、“非”联结词． 4．对于复合命题的理解要注意“由简单命题与……”，有时候我们只注意“联 结词”，而不注意“命题”也是不正确的．如“x2或x－2”就不是复合命 题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题．,5．反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法． 6．理解充分条件、必要条件和充要条件之间的关系，例如，如果满足A是B的充要条件，则一定也满足B是A的充要条件． 7．有些与变量的取值范围有关的命题，通常可以把条件与结论看成相应的集合，然后利用“小集合”推“大集合”而“大集合”不能推出“小集合”的方法来判断充分条件或者必要条件．这里的“小”与“大”是相对的，一般情况下，若集合A是集合B的子集，我们就把A看成“小集合”，B看成“大集合”．,8．根据充分条件与必要条件的定义，我们一般认为：由条件推结论是充分条件，由结论推条件是必要条件．所以，通过分析找出题目中的条件和结论是解决这类问题的关键． 9．从已知概念、命题出发，用箭头符号语言“⇒，⇐，⇔”表示充分、必要、充 要条件，可直观地表示出命题间的关系，作出判断．在判断的时候，对于 “p⇒q”需要证明或说明，而对于“p q”，只要举出一个反例即可．特别强调的是，对于条件的判断绝对不能随便地观察一下就下结论，必须有详尽的步骤．,【知识拓展】 间接证法 有的命题往往不易或不能从原命题直接证明，这时不妨改证它的等效命题，间接地达到证明原命题的目的．这样的证明方法叫做间接证法．间接证法又可分为反证法与同一法两种：,(1)反证法 是证明命题的逆否命题成立．即当命题由题设⇒结论不易着手 时，而改证它的逆否命题．否定的结论⇒否定的题设成立就行．实际上是用,结果为某公理、某定理题设或临时 假设所不相容或自矛盾.,这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，也就不能不归咎于否定结论的假定，因此否定结论不成立，那结论就一定成立了．这种证明方法叫做反证法．它在证明许多基本命题时特别有用，用反证法证明的一般过程是：,反证法由于否定结论的情况不同，又可分为归谬法和穷举法．,(2)同一法 一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法． 同一法的一般过程是： a．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性； b．证明所作的图形的特性，与已知条件符合； c．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此断定原命题成立．,1．命题的概念 (1)能够 的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做 ，判断为 假的语句叫做 ． (2)在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ， 我们称这两个命题为互逆命题． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，这样的两个命题称为互否命题．,真命题,假命题,条件和结论,结论和条件,条件的否定和结论的否定,判断真假,(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，这样的两个命题称为逆否命题． (5)一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题 的 ；“若非p则非q”就叫做原命题的 ；“若非q则非 p”就叫做原命题的 ．,结论的否定和条件的否定,否命题,逆否命题,逆命题,2．四种命题的相互关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,3．充分条件和必要条件 一般地，如果p⇒q，那么称p是q的 条件，同时称q是p的 条 件，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的 条件，简称p是q的 条件，记作p q；如果p⇒q，且q p，那么称p是q的 条件；如果pD q；且q⇒p，那么称p是q的 条 件；如果p q，且q p，那么称p是q的 条件．,充分,必要,充分必要,充要,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要,⇔,1．下列语句是命题的是________． ①x＋1＞3；②1∉N；③若a∈R，则a2＋1＜1. 答案：②③ 2．x2＞1是x＞1的________条件． 答案：必要不充分 3．(江苏省靖江调研)x＞1是x2＞x的________条件． 答案：充分不必要,4．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题是______，否命题是________，逆 否命题是________． 答案：若x＝1则x2＝1 若x2≠1则x≠1 若x≠1，则x2≠1 5．(2010·盐城中学高三上学期期中考试)已知函数f(x)＝4sin ＋1， 给定条件p： .条件q：－2＜f(x)－m＜2，若p是q的充分条件，则 实数m的取值范围为________． 答案：(3,5),并不是任何语句都是命题，只有那些可以判断真假的陈述句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．在数学与其他科学知识中，还有一些陈述句也经常出现，如“我明天去看电影”，“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”(哥德巴赫猜想)等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想也归类于命题．,【例1】 判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由． (1)矩形是平行四边形．(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (3)求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实根．(4)x＞5.(5)人类在2020年登上火星．,解：(1)是命题，且是真命题．(2)不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．(3)不是命题，是祈使句．(4)是开语句，不是命题．(5)是命题，但目前无法判断真假．,思路点拨：对于判断是否是命题的问题，主要根据命题的定义加以判断．命题的定义是“可以判断真假的陈述句”，因此，要想判断一个语句是否是命题，主要判断两个方面：一是所给出的语句是否能判断真假，另一方面，是要看这个语句是不是陈述句．而对于(1)中的反义疑问句，如果将它转化为陈述句即为“矩形是平行四边形”，是可以判断真假的，从而是命题；(2)是疑问句，题设条条没有对语句的真假作出判断，不是命题；(3)是祈使句；(4)是开语句；(5)是一种特殊的陈述句，目前为止无法判断真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假，所以也是命题．,变式1：判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假． 解：解法一：写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根，逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a0. 判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a0，∴a－ 0， ∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a0”为真命题．,解法二：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断． ∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋10，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋10， ∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题． 又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命 题为真命题．,1．命题的四种形式中，哪个是与原命题是相对的，不是绝对的； 2．四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，对互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化； 3．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．,【例2】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0， 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”． (1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 思路点拨：根据四种命题间的关系写逆(否)命题并证明．,解：(1)逆命题是：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，它是成立的，逆命题与否命题是等 价的，可证其否命题是真命题，否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a) ＋f(－b)．,证明：∵a＋b＜0，a＜－b，b＜－a，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，否命题为真命题， ∴它的逆命题也为真命题． (2)逆否命题是：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.若证它为真，可证明原命题为真来证明它． 因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a；因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．,【例3】 已知x∈R，a＝x2＋ ，b＝－x＋2，c＝x2－x＋1.求证： a、b、c中至少有一个不小于1. 思路点拨：在已知中a、b、c均以函数的形式单独出现，直接证明难 度较大，可考虑间接法． 证明：假设a、b、c均小于1，则a＋b＋c＜3.又a＋b＋c＝2x2－2x＋ ＝2 ＋3≥3与假设矛盾．∴a、b、c中至少有一个不小于1.,变式2：已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥0， 求证：a＋b≥0. 证明：假设a＋b＜0，即a＜－b，∵f(x)在R上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，又f(x)为奇函数， ∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)，即f(a)＋f(b)＜0.与条件矛盾，假设不成立． 即原命题的逆否命题为真，所以原命题为真．,变式3：若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋ ，b＝y2－2z＋ ， c＝z2－2x＋ ， 求证：a、b、c中至少有一个大于0. 证明：。