微分中值定理经典题型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2章 微分学中值定理及其应用-习题课(1),课堂练习,举例,主要内容,洛必达法则,Rolle,定理,Lagrange,中值,定理,常用的,泰勒公式,Cauchy,中值定理,Taylor,中值定理,Fermat定理,主要内容,分析:,设,欲证:,使,只要证,亦即,证明,作辅助函数,验证,在,上,满足罗尔定理条件.,课堂练习,证明,反证法,由第1题!,若将第1题改为:,提示：,求证存在,使,2.设,可导，且,在,连续，,证明,：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证明 第2题的特殊情况:,n,=2!,证明,不妨设,设,证明对任意,有,3.,4,.,设函数,f,(,x,)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且,试证必存在,分析:,所给条件可写为,想到找一点,c,使,证明:,因,f,(,x,)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值,M,与最小值,m,故,由,介值定理,至少存在一点,由,罗尔定理,知,必存在,证明:,6.,试证至少存在一点,使,法1,令,则,f,(,x,)在 1,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,7,试证至少存在一点,使,证:,法2,用柯西中值定理.,则,f,(,x,),F,(,x,)在 1,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,8.,且,试证存在,证明:,欲证,因,f,(,x,)在,a,b,上满足L-中值定理条件,故有,将,代入,化简得,故有,即要证,证,例1,举例,两式相减,则有,例2,证明:,两式相减,得,令,h,0,两边取极限,利用,f,(,a,),的连续性得,有关中值问题的解题方法小结,利用,逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5)若结论为不等式,多半用Taylor和lagrange公式,要 注意,适当,放大,或,缩小,的技巧.,有时也可考虑,对导数用中值定理.,第2章 导数应用-习题课(2),课堂练习,举例,主要内容,主要内容,单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数,图形的描绘.,导数的应用,1.研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线.,2.解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.其他应用:,证明不等式;,研究方程实根等.,1.可导函数单调性判别,在,I,上严格单调递增,在,I,上严格单调递减,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,2.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3)第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,3.在,a,b,上连续的函数,f,(,x,)的最大（小）值求法,求函数最值的方法:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,注意,:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),4.连续曲线凹凸与拐点,（1）凸（凹）函数的定义,（2）凸函数的判定,判定法则1,判定法则2,判定法则3,(3)拐点的定义及判定法,拐点,连续曲线上有切线的,凹凸分界点,过,由,正,变,负,或,过,由,负,变,正,判定法则1,例1,证,举例,例2,证明,方法1：,例3,证明,课堂练习,证明,课堂练习,证法一：,证法一：,证法二：,。