《复变函数与积分变换》辅导资料七.doc

第 1 页 共 6 页复变函数与积分变换资料七主 题：第三章 复变函数的积分 1—3 节学习时间：2012 年 11 月 12 日－11 月 18 日内 容：在复变函数中，积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具本周首先给出复变函数积分的概念、性质及其计算法，其次介绍关于解析函数积分的柯西积分定理（柯西—古萨定理），并将柯西积分定理从单连通区域推广到多连通区域，从而得到复合闭路定理柯西积分定理和复合闭路定理是探讨解析函数性质的理论基础在以后的章节中，直接或间接地经常要用到它们，所以我 们要透 彻地理解和熟练地掌握其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、理解复变函数积分的定义及性质2、熟练掌握复变函数积分的计算3、深刻理解柯西—古萨定理4、了解复合闭路定理的解析性质、运算性质基本概念：复变函数积分知识点：复变函数积分的计算、柯西—古萨定理、复合闭路定理第一 节、复 变函数积分的概念（要求达到“ 领会”层次）第 2 页 共 6 页一、积分的定义定义：设函数 在区域 D 内有定义，C 是区域 D 内一条以 A 为起点)(zfB 为终 点的一条光滑有向曲线。

把曲 线 C 任意分成 n 个小弧段， 设分点为，在每个小弧段 上任取一点 ，BzzAnk,,110 ),21(1kz k并作和式 记 是所 nkknkkffS11 )())( 1kkz有小弧段弧长的最大值当 时，如果不论对 C 的分法及 的取法如何，0k都有唯一的极限，那么称函数 在 C 上可积，并称此极限值为函数nS)(zf在曲线上的积分， 记作 （如下图）)(zfnkkzfdf10)(lim沿 C 的 负方向（由点 B 到点 A）的积分记为 若 C 为闭曲线，则将-C)(dzf积分记为 ，此时 C 的正方向取为逆时针方向)(dzf显然，当 C 取 轴上的一段 ，而 为实 函数时，这个积分定义就xbxa)(zf是一元实变函数定积分的定义定理 1：设 C 是复平面上光滑曲线，函数 在 C 上连续，),(),()yxivuzf则积分 存在，并且dzf)( CCC divdyxdzf)(利用上式还可将复积分化为定积分来计算，设 C 的参数方程 为，则有tiytxz),()( tztfzfC)(][)(第 3 页 共 6 页典型例题：例 1、计算 ，其中 C 为从原点到点 3+4i 的直线段。

Czd解：此直线方程可写作 或10,4,3tytx 10,43titz在 C 上， ，于是diztiz)(,)43(2102102 )(itdd因 xdyyxiyixz CCC ))(易验证，右边两个线积分都与路线 C 无关，所以 的值，不 论是对怎样的z连接原点到 3+4i 的曲线，都等于 2)43(1i例 2、计算积分 ，其中 C 为以 为圆 心， r 为半径的正向圆周dzzCn10)( 0z（如下图）， n 为整数解：圆周 C 的方程可表示为 20,0irez deridideridzz innnn    02020)1(10)(时，积分结果为 ；ii20时， 积分结果为n 0)sin(co20  drdernin因此 ,02)(10dzzCn此例的结果很重要，以后经常要用到以上 结果与积分路径圆周的中心和半第 4 页 共 6 页径没有关系，应记住这一特点二、复变函数积分的性质设 及 在简单曲线 C 上连续， 则有)(zfg1、 dzfdCC)(2、 为复常数kzkf,)(3、 dzgzfgCCC)()(][4、 fdzf 2211)(5、设曲线 C 的长度为 L，函数 在 C 上满足 ，则)(zMzf|)(|CLdsff|)(||第二 节、柯西 —古萨基本定理（要求达到“ 简单应用”层次）定理 2：设 G 为复平面上的单连通区域， C 为 G 内的任意一条简单闭曲线（如下图），若 在 G 内解析，则 。

)(zf 0)(dzf上述定理称为积分基本定理，有常称作柯西-古萨基本定理上述定理揭示了解析函数的一个深刻性质，即解析函数沿其解析区域内的任意一条简单闭曲线的积分为零，亦即解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关典型例题：第 5 页 共 6 页例 3、计算积分 dzezz)cos2(5| 解：因为 均在复平面上解析，所以，它们的和在一包含积分路径ezcos,2的单连通区域 G 内解析，而 积分路径 是简单闭曲线，所以，由柯西-5|z 5|z古萨基本定理得 0)cos2(5| dzezz定理 3：设 在单连通区域 D 内解析， 与 为 D 内任意两点， 与)(zf 011C为 D 内连接 与 的任意两条简单曲线（如下图），则2C01 21)()(CCdzfzf典型例题：例 4、计算积分 ，其中 C 是圆周 的下半 圆周， z 从-2 到 0dzCcos1||z解：由于被积函数 在 z 平面上解析，故 积分与路径无关，取 为实轴上1C从-2 到 0 的直 线，由定理 3，有 2sincocsos021zdzzdCC第三节、基本定理的推广—复合闭路定理（要求达到“ 简单应用”层次）定理 4：设 与 是两条简单闭曲线， 在 内部， 在由 与 所围1C2 2C1)(zf1C2成的多连通区域 D 内解析，在 闭区域 上连续（如下图），则D第 6 页 共 6 页21)()(CCdzfzf定理 5（复合闭路定理）：设 C 为多连通区域 D 内的一条 简单闭曲线，是在 C 内部的简单闭曲线，它 们互不包含也互不相交，并且以nC,,21为边界的区域全含于 D（如下图）。

如果 在 D 内解析，则有 )(zf1、 nkCCdzfdzf1)()(其中，C 和 均取正方向n,,22、 0)(dzf其中， 是由 组成的复合闭路，其方向是：C 为逆时针方向，n,,21为顺时针方向nC,,21。