泛函分析线性赋范空间论文.doc

线性赋空间上算子的一致连续性定理满足的序列和都有摘要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致连续个充要条件是任意两个; 或对任意Cuchy序列{*n},{T*n}是Y中的Cuchy序列;或对任意ε>0,存在正数c,使得对*、y∈D,当‖T*-Ty‖>c‖*-y‖时,恒有‖T*-Ty‖<ε 关键词: 连续; 一致连续; 线性赋空间前言 众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成局部.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(*,‖・‖1)、(Y,‖・‖2)分别表示两个线性赋空间(实的或复的),简记为*、Y 定义1 设T是从线性赋空间*到线性赋空间Y的一算子,*0∈*,假设对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖*-*0‖<δ时有:‖T*-T*0‖<ε,则称算子T在*0处是连续的;如果T在*中的每一点处都连续,则称T在*上是连续的。

定义2设T是从线性赋空间*到线性赋空间Y的一算子,假设对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点*1,*2,当‖*1-*2‖<δ时都有‖T*1-T*2‖<ε成立,则称T在*上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:假设对任意ε>0,存在δ>0,使得对*中的任意两个点*1,*2,如果‖T*1-T*2‖≥ε,则必有‖*1-*2‖≥δ,则T在*上是一致连续的 从以上的定义不难看出,如果T在*上是一致连续的,则T必在*上的每一点处都是连续的;反之不真所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念 定义3设M是线性赋空间*的一个子集,假设M中的任何序列都有在M中收敛的子列,则称M是*的一个紧集.假设*本身是紧的,则称Y为紧的线性赋空间连续算子一致连续的两个充分条件 我们有如下一些主要结果: 定理1设A是线性赋空间*的紧子集,假设T是从A到线性赋空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的 证明用反证法,设T在*上不是一致连续的,则由定义知,存在*ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在*中的相应两个点*′,*″,虽然‖*′-*″‖<δ,但是有‖T*′-T*″‖≥ε0 (1)对任意的自然数n,取δ-1/n,则分别存在虽然但是虽然(2)从而得*中的两个序列分别有收敛子列，由于A是紧子集，所以易知此时有则由假设设(3)由T的连续性，有(4)的取法以及〔2〕知，有但是另一方面，由上面的(3)式与(4)式矛盾。

所以T在*是一致连续的 对空间R而言,由于任何有限闭区间[a,b]都是紧集,所以上述定理2是我们在数学分析中熟悉的一致连续性定理(即闭区间上的连续函数一定是一致连续的)的推广 定理2设*是紧的线性赋空间,T是从*到线性赋空间Y的一连续算子,则T是一致连续的 证明 可用反证法：具体过程与定理1完全类似 算子一致连续的几个充要条件 定义4设*是一线性空间,*1,*2为*中的两个点,称集合{*∶*=(1-t)*1+t*2,0≤t≤1}为连接点*1,*2的线段;对于*的一子集S,假设S包含连接S中任意两点的线段,则称S为*的凸子集定理3设D是线性赋空间*的一个凸子集,T是从D到线性赋空间Y上的一算子,则T一致连续的充分必要条件是对任意ε>0,存在正数c,使得对*,y∈D,当‖T*-Ty‖>c‖*-y‖ (7) 时,恒有‖T*-Ty‖<ε (8)证明充分性: 根据条件,对任意ε>0,存在正数c,使得对*,y∈D,当‖T*-Ty‖≥ε (9)时,成立‖T*-Ty‖≤c‖*-y‖ (10)此时由(10)、(9)式可得‖*-y‖≥c ‖T*-Ty‖≥ε/c所以对任意ε>0,只需取δ=ε/c,则当*,y∈D，且满足‖T*-Ty‖≥ε时,必有‖*-y‖≥δ,利用一致连续的等价定义可知,T是一致连续的.必要性:设T在D上一致连续的,则由一致连续的等价定义知,对任意ε>0,存在δ>0,使得对D中的任意两个点*,y,如果‖T*-Ty‖≥ε,则必有‖*-y‖≥δ.现取自然数k,使得kδ≤‖*-y‖≤(k+1)δ (11)令*i=〔1-i/k+1〕*+〔i/k+1〕y, i=0,1,2,…,k+1,则由(11)式易见有,‖*i+1-*i‖=‖*-y‖k+1<δ,所以此时有:‖T*-Ty‖≤∑k‖T*i+1-T*i‖/kδ<(k+1)ε/kδ<2ε/δ假设令c=[2ε/δ]+1,则对D中的任意两个点*,y,如果‖T*-Ty‖≥ε,则必有‖T*-Ty‖≤c‖*-y‖成立,即如果(7)式成立,则必有(8)式成立。

结论 从上面的证明过程可以看出,定理的充分性对任意的子集D都成立,不需要凸这一假设;而对定理的必要性,子集D的凸性只是为了保证D具有*种“连通性〞不难看出,对任意子集D,当D中任意两点都可以通过折线时,定理仍然成立如果只要求D是道路连通的,定理就不一定成立参考文献[1]新华.判断函数一致连续的几种方法[J].工学院学报,2004(4),49-51.[2]洵.关于函数的一致连续性[J].师学院学报,2003(5),57-58.[3]汪义瑞,本庆.一致连续函数的判定[J].师专学报,2003(4),52-54.[4]周哲.一元函数一致连续的一个充要条件[J].南都学坛,2001(3),25-26.[5]程其襄.实变函数与泛函分析根底(第二版)[M].:高等教育,2003.[6]熊金城.点集拓扑讲义(第三版)[M].:高等教育出版社,2003. z.。