高中数学 第二章 概率 2.2.3 独 立重复试验与二项分布学案 新人教b版选修2-3.doc

12.2.32.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.(难点)3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.(重点)[基础·初探]教材整理 独立重复试验与二项分布阅读教材 P54～P56，完成下列问题.1.n次独立重复试验在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.2.二项分布若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，k n于是得到X的分布列X01…k…nPCp0qn0nCp1qn－11n…Cpkqn－kk n…Cpnq0n n由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散0n1nk nn n型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做X～B(n，p).1.独立重复试验满足的条件是________.(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.【解析】 由n次独立重复试验的定义知①②③正确.【答案】 ①②③2.一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________.2【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为 ，由于每次试验的结果不受影响，故由独1 2立重复试验可知，所求概率为P＝C2＝ .1 3(1 2)(1 2)3 8【答案】 3 83.已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于________. (6，1 3)【导学号：62980049】【解析】 P(X＝2)＝C42＝.2 6(1－1 3) (1 3)80 243【答案】 80 243[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]独立重复试验中的概率问题(1)某射手射击一次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是 0.93；②他第三次击中目标的概率是 0.9；③他恰好 2 次击中目标的概率是 2×0.92×0.1；④他恰好 2 次未击中目标的概率是 3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上).(2)某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第 2 位)：①5 次预报中恰有 2 次准确的概率；3②5 次预报中至少有 2 次准确的概率；③5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率.【自主解答】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.【答案】 ①②④(2)①记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5 次预报相当于 5 次独立重复试验，2 次准确的概率为P＝C ×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，2 5因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05.②“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确”，其概率为P＝C ×(0.2)5＋C ×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.0 51 5所以所求概率为 1－P＝1－0.01＝0.99.所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99.③说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确.所以概率为P＝C ×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，1 4所以恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1.判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.2.分拆：判断所求事件是否需要分拆.3.计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.[再练一题]1.(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ，没有平局.若进2 3行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________.(2)在 4 次独立重复试验中，事件A至少发生 1 次的概率为，则事件A在 1 次试验中65 81出现的概率为________.【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局.即P＝2＋C × × × ＝.(2 3)1 22 31 32 320 274(2)由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝ .0 465 811 3【答案】 (1) (2)20 271 3二项分布一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .1 3(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列.(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值.再求η取各值的概率.【自主解答】 (1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)(5，1 3)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.k5(1 3) (2 3)故ξ的分布列为ξ012345P32 24380 24380 24340 24310 2431 243(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1 个是红灯)＝k· ，k＝0,1,2,3,4；(2 3)1 3P(η＝5)＝P(5 个均为绿灯)＝5.(2 3)故η的分布列为η012345P1 32 94 278 8116 24332 2431.本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”k n时才能运用，否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，5事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.[再练一题]2.在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设 4 名考生选做每道题的可能性均为 ，且各人的选择相互之间没有影响.1 2(1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名考生中选做第 15 题的人数为ξ名，求ξ的分布列.【解】 (1)设事件A表示“甲选做 14 题” ，事件B表示“乙选做 14 题” ，则甲、乙 2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋ ∩ ” ，且事件A，B相互独立.AB∴P(A∩B＋ ∩ )＝P(A)P(B)＋P( )P( )ABAB＝ × ＋×＝ .1 21 2(1－1 2) (1－1 2)1 2(2)随机变量ξ的可能取值为 0,1,2,3,4，且ξ～B.(4，1 2)∴P(ξ＝k)＝Ck4－kk4(1 2) (1－1 2)＝C4(k＝0,1,2,3,4).k4(1 2)∴随机变量ξ的分布列为ξ01234P1 161 43 81 41 16[探究共研型]独立重复试验与二项分布综合应用探究 1 王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？二点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为 0 次、1 次，它服从二项分布.二点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1 的二项分布.探究 2 王明做 5 道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布.因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做 5 道题可以看成“一道题”重复做了 5 次，做对的道数就是 5 次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布.探究 3 王明做 5 道单选题，其中 2 道会做，其余 3 道均随机选一个答案，他做对的6道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布.因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 ，2 32 3，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.2 31 2(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝ ；2 3(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为 3 且甲队总得分大于乙队总得分.【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为 0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝C3＝，0 3(1－2 3)1 27P(ξ＝1)＝C2＝ ，1 32 3(1－2 3)2 9P(ξ＝2)＝C2＝ ，2 3(2 3) (1－2 3)4 9P(ξ＝3)＝C3＝.3 3(2 3)8 27所以ξ的分布列为ξ0123P1 272 94 98 27(2)用C表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用D表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝C2Error!Error!＝，2 3(2 3) (1－2 3)10 34P(D)＝C3＝，3 3(2 3) (1 3×1 3×1 2)4 357由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝10 344 3534 35＝.34 243对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ，， .现有 3 名工人独立地从1 21 31 6中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列.【解】 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意。