福建长泰一中数学一轮复习《函数模型及其应用》教案.doc

福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数模型及其应用》教案基础过关 典型例题例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，则当x=时，S有最大值;若＞b,即a＞3b时，S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=时，四边形面积Smax=,例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=34=12,∴s=412=24.（2）当0≤t≤10时，s=t3t=t2，当10＜t≤20时，s=1030+30（t-10）=30t-150；当20＜t≤35时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知s=(3)∵t∈［0，10］时，smax=102=150＜650.t∈（10，20］时，smax=3020-150=450＜650.∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；当x＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）= (2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x--0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由得x≥4.75-=0.1(百台）或x＜48(百台).∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x＞4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈［0，］时,y≤f（）＜26.4;当x∈（，］时，y≤f（）＜26.4;当x∈（,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=41.8+3.53=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=41.8+0.53=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg（1+x）==0.007 525，∴1+x≈1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y≤12.48（1+1%）10，得lgy≤lg12.48+10lg1.01=1.139 2,∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答. 4用心 爱心 专心。