九年级数学一元二次方程（带复习资料）.doc

第二章 一元二次方程 第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若，则方程无实数解典型例题】（1）（用因式分解法） 解：（2）（用公式法） 解： （3）（用配方法）解： 【经典练习】一、直接开方法（1） （2）二、配方法注：（1） （2）二、公式法1. 用求根公式法解下列方程； 解：； 解：； 解： ； 解：； 解：；解：； 解：(7)方程无实数根；； 解：； 解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式， 解：。

三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x2－5x－24＝0； 解：；（2）12x2＋x－6＝0；解：；（3）x2－4x－165＝0 解：；（4）2x2－23x＋56＝0；解：；（5）； 解： （6）；解：（7） 解：； （8）； 解： (x－2)2－5(x－2)＋6＝0，(x－2－2)(x－2－3)＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t(t＋3)＝28； 解：（9）t2＋3t－28＝0，(t＋7)(t－4)＝0，t1＝－7，t2＝4；（10）(x＋1)(x＋3)＝15解：x2＋4x＋3＝15，(x＋6)(x－2)＝0，x1＝－6，x2＝22. 用因式分解法解下列方程：（1）(y－1)2＋2y(y－1)＝0； 解：； （2）(3x＋2)2＝4(x－3)2； 解： （3）9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0； 解：[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0， （4）(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0 解：[(2y＋1)＋1][(2y＋1)＋2]＝0， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2－x－1＝0 B. 9x2＝4(3x－1) C. D. 2. 若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（ C ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况不确定 解析: 因为△＝4(a＋b＋c)2－12(a2＋b2＋c2) ＝4(－2a2－2b2－2c2＋2＋2＋2) ＝－4[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＜03. 若方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。

分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围 解：设方程的两个实根为 ∵方程有两个实根 4. 已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0m取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析:△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3) （1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原方程没有实数根5. 已知关于x的方程 ① （1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根 （2）如果a是关于y的方程 ②的根，其中为方程①的两个实数根 求：代数式的值 分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值 （1）证明： ∵ ∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）解：∵是方程①的两个实数根 ∴方程② ∵a是方程②的根，∴ 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用6. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值 解：（1）原方程化为 ∴ 即成立 当时，原方程化为 由，可设方程的两根分别为 则 ∴ 即不成立 （2）设原方程两个实数根是 则 ∵对于任意一个非零的实数a，都有 第2讲 根的判别式【知识要点】1.根的判别式： 关于x的一元二次方程 当时，方程有两个不相等的实根 当时，方程有两个相等的实根 当时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c是三角形的三条边， 求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根分析：此题需证出△＜0已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。

证明：因为△＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2 ＝[(b2＋c2－a2)＋2][(b2＋c2－a2)－2] ＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2] ＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a) (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0， 同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0 又a＋b＋c＞0，所以△＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0 所以，原方程没有实数根经典习题】为三边长的三角形是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为底边的等腰三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 2. 已知关于x的一元二次方程（1）k取什么值时，方程有两个实数根2）如果方程的两个实数根满足，求k的值 解：（1） 解得时，方程有两个实数根 （2）∵，分两种情况 ①当，∴方程有两个相等的实数根。

②当 由根与系数关系，得 ∴ 3. 已知方程的两根的平方和为11，求k的值 解：设方程的两根为 则有 ∴ 当 ∴ 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根4．含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程－8－4＝0的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然x＝0不是方程的根 当x＜0时，x｜x｜－8｜x｜－4＜0 ∴x＜0的任何实数不可能是方程的根 当x＞0时，方程为x2－8x－4＝0 此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负又因x＞0， 故负根舍去所以方程只有一个实数根 （2）. 求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根 解：令得 显然不是方程的解 当时，方程是 即 x＝－1舍去，∴x＝3 当时，方程是 即解得 舍去，∴ 故方程的实数根是5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18时， 6. 已知是方程的两根，求代数式的值。

7.（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．【答案】解：∵有两个相等的实数根，∴⊿＝，即． 全品中考网∵∵，∴8.（四川乐山中考）若关于的一元二次方程有实数根．（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值．（3） 解：（1）∵一元二次方程有实数根，（4） ∴， ………………………………………………………………………2分（5） 即，（6） 解得．……………………………………………………………………4分（7） （3）由根与系数的关系得：， ………………… 6分（8） ∴， …………………………………………7分（9） ∵，∴，（10） ∴，（11） 即t的最小值为－4． ………………………………………………………10分9.（ 四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．10.（ 湖北孝感中考）关于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范围；（4分） （2）若的值.（6分）【答案】解：（1）由题意得： …………2分解得： …………4分 （2）由得， …………6分 …………8分 …………9分。