沪教版八年级上册-几何证明的总结与练习.doc

第十九章 几何证明知识整顿一、知识梳理：1、有关概念：命题、公理、定理(1)命题：判断一件事情的句子叫做命题命题的形式：如果…(题设)，那么…(结论)命题中，结论对的的是真命题，结论错误的是假命题2)公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理3)定理：用推理的措施证明为真命题，且可作为判断其她命题真假的根据的真命题叫做定理4)逆命题和逆定理在两个命题中，如果第一种命题的题设是第二个命题的结论，而第一种命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一种叫做原命题，另一种就叫做它的逆命题如果两个定理是互逆命题，那称它们为互逆定理，其中一种叫做另一种的逆定理2、重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等如图： ∵MN垂直平分线段AB ∴PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上如图： ∵PA=PB ∴点P段AB的垂直平分线上★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图： ∵OP平分∠AOB PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEMNBAP逆定理：在一种角的内部（涉及顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

如图： ∵PD=PE PD⊥OA，PE⊥OB∴OP平分∠AOB★直角三角形的全等鉴定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边相应相等，那么这两个直角三角形全等H.L）ACBDACB（注意：必须先证明两个三角形都是RT⊿，才干应用本鉴定定理；此前所学的ASA、AAS、SAS、SSS这四条鉴定定理对于直角三角形全等的鉴定仍然合用★直角三角形的性质及鉴定定理1：直角三角形的两个锐角互余如图： ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角、中点→想一半）如图： ∵∠ACB=90°， 且点D是AB的中点 ABODEP∴ACB推论1：在直角三角形中，如果一种锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如图： ∵∠C=90°，∠A=30° ∴推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°ACBabc如图： ∵∠C=90°， ∴∠A=30°★勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。

如图： ∵∠C=90°，∴ （）勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其她两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形如图： ∵，∴⊿ABC是RT⊿，且∠C=90°★基本轨迹轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线轨迹2：在一种角的内部（涉及顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆二、基本措施：1、几何证明的分析思路：从结论出发，即：根据所要证明的结论，去寻找条件例如：要证线段相等，则必先证：①⊿全等，然后运用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后运用等角对等边（前提：在同一种三角形中）③寻找中间变量，然后运用等量代换得出结论；④观测图形，看与否可以直接运用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论 要证角相等，则必先证：①⊿全等，然后运用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后运用等边对等角（前提：在同一种三角形中）③寻找中间变量，然后运用等量代换得出结论；④观测图形，看与否可以直接运用角平分线逆定理来得出结论 要证垂直，则必先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后运用“三线合一”来得出结论（前提：在同一种三角形中） 要证三角形全等，则必先要从已知找条件，看要鉴定全等还却什么条件，然后再去寻找！从已知出发，即：根据所给条件、运用有关定理→→直接可得的结论。

例如：已知线段的垂直平分线→→线段相等 已知角平分线→→到角的两边距离相等或角相等 已知直线平行→→角相等 已知边相等→→角相等（前提：在同一三角形中）2、几何图形： 必须先观测图形，找出其明显的特性（一般来说：诸多结论在图形中是完全可以看到的！）三、基本训练轨迹1、到定点A的距离为4cm的点的轨迹是 2、通过点P、Q的圆的圆心轨迹是 如何画）ABCDE3、到∠AOB的两边距离相等的点的轨迹是 如何画）线段的垂直平分线1、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DE是AC边的垂直平分线，AB=8cn，BC=6cm，则⊿BCD的周长是 2、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DE是AC边的垂直平分线，AB=16cm，且⊿BCD的周长是30cm， BC= 3、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DE是AC边的垂直平分线，∠A=30°，则∠BCD= 度。

角平分线1、如图，在RT⊿ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，若AC=8，BD=3，则⊿ADC的面积为 直角三角形有关内容1、在RT⊿ABC中，∠A=90°，∠B=35°，则∠C= 度2、直角三角形中斜边上的中线和高分别为8cm、5cm，则面积为 3、直角三角形中，如果斜边和斜边上的中线的和为24cm，则斜边长为 4、在RT⊿ABC中，∠A=90°，BC=8，AC=4，则∠C= 度5、直角三角形中两直角边的长分别为5、12，那么斜边上的中线为 6、在RT⊿ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠ACD=30°，若AD=4cm，则AB= cmABDCABCD7、如果等腰三角形底边上的中线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度8、如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度9、已知两点，则AB= 10、已知，在RT⊿ABC中，∠C=90°，CD是边AB上的中线，CD=5cm，∠A=30°，那么边BC= cm。

四、解答题1、在直角坐标平面内，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，1）判断⊿ABC的形状，并阐明理由；2）求BC边上中线的长2、在直角坐标平面内，已知点P坐标为，且点P到点、的距离相等，求m的值3、已知A、B两点的坐标分别为，在x轴上找一点C，使得∠ACB=90°，求点C的坐标4、在直角坐标系xOy中，反比例函数图像上的点A、B的坐标分别为、，点C在x轴上，且⊿ABC为等腰三角形，求点C的坐标5、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=3，BC=4,AD=13，DC=12 ；BCAD求四边形ABCD的面积ACBD6、如图，已知⊿ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9，求AC的长7、已知：如图，在⊿ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，ACBDFE求证：EB=FC8、已知：如图，CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD，CBAD求证：AD∥BC9、已知：如图，AD=BC，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DE求证：AB∥CDABDCFE10、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE与否相等，并阐明理由。

11、如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中点，F是CD的中点，则EF⊥CD，请阐明理由ABDCGEF12．如图，AOB=，OP平分AOB，PEOA于E, PF∥OA交OB于F，如果PE=3，求PF的长 13．如果，四边形ABCD中，E、F分别为对角线AC、BD的中点，如果ABC=ADC= 求证：EFBD 。