解决蚂蚁爬行问题的小技巧.doc

解决蚂蚁爬行问题的小技巧关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间，线段最短”解决问题下面笔者总结了一些解这类题型的小技巧，方便解题求一只蚂蚁从顶点 A 出发，求沿立体图形的表面爬到对角顶点 B 处的最短距离 1）蚂蚁在正方体表面爬行设正方体的边长为 a，则三种展开方式距离一样，为■＝■ a.应用：如下图，边长为 2 的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 .答案： 2■ .（2）蚂蚁在长方体表面爬行设长方体长、宽、高分别为 a、 b、c，则最短路线应为下列展开图中的线段 l1、l2或者 l3 第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形l1＝■＝■ .第二种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面l2＝■＝■ .第三种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形l3＝■＝■ .所以只需要比较 ab、bc、ac 的大小，就可以知道哪条线路最短应用：如图是一块长，宽，高分别是 6cm， 4cm 和 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为 。

解：最短距离＝■＝■ .（ 3）蚂蚁在圆柱表面爬行当题目没有强调蚂蚁沿圆柱侧面爬行时，应分两种情况讨论在一般情况下，当圆柱的底面周长为 C，高为 h 时，路线 1：侧面展开图中的线段 AC ．如下图所示：距离为 l1 ＝ AC ＝■＝■，路线 2：高线 AB+ 底面直径 BC．如下图（ 1）所示：距离为 l2 ＝ AB ＋ BC＝ h＋■，分别计算，比较大小即可应用：如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高 BD 为4cm， BC 是直径，一只蚂蚁从点 D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程大约（） .A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm解：将圆柱体展开， 连接 DC，圆柱体的底面周长为 24cm，则 BC ＝ 12cm，根据两点之间线段最短， CD ＝■＝ 4■≈ 13cm．而走 B-D-C 的距离更短，∵ BD ＝4， BC＝■，∴ BD+BC ≈ 11.64≈ 12．故选 B．（ 4）蚂蚁在圆锥的侧面爬行先计算出圆锥侧面展开的扇形的圆心角，画出展开图，用勾股定理解决应用：如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D 为PB的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A. ■B.2■C.3■D.3解：由题意知， 底面周长等于 2πr＝ 4π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 4π ＝■，解得n＝ 120°，所以展开图中∠ APD ＝ 120°÷ 2＝60° .根据勾股定理求得 AD ＝ 3■，所以蚂蚁爬行的最短距离为 3■．故选 C．。