毕业论文--浅谈数学教学中的反证法.docx

宁夏师范学院NINGXIASHIFANXUEYUAN毕业论文题目：浅谈数学教学中的反证法院（系）:专业年级：09级数学教育一班 姓 名： 孙茜茹学 号： 200907120129指导教师： 矍昌權浅谈数学教学中的反证法摘 要在数学教学中，解题是一个必不可少的环节，同样解题的方法有 很多，但本文所要探究的是，在数学教学活动中的一种数学教学中的 一种解题方法“反证法”有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前 有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了 李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动, 王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了 李子，所以李了一定是苦的这个故事中王戎用了一种特殊的方法, 从反面论述了李子为什么不甜，不好吃这种间接的证法就是我们这 篇论文所要讨论的反证法，反证法是数学中常用的间接证明方法之 一本文重点阐明反证法的概念，反证法的种类，反证法证明的一般 步骤（反设、归谬、结论）等通过生活以及学习的实践告诉我们: 下面儿种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、 无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等 量命题的证明、基本命题。

运用反证法应该注意的问题，必须正确否 定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类反证法的逻辑基础是形 式逻辑基本规律中的排中律通常反证法是从待证命题的结论的反面 入手进行正确推理，推出矛盾，从而得出原结论的反面不真，由此肯定 原结论为真中学代数中，一些起始性命题、否定性命题、唯一性命 题、必然性命题、结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的 命题、“无限性”的命题、一些不等式的证明等用反证法来证明可收 到较好的效果假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题 判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临 时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立， 即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明吋, 改证它的逆命题的证明方法就是本文所探究的反证法关键词：反证法证明假设矛盾结论一绪论 5二反证法的概念 62. 1反证法定义的证明 62.2反证法概念的探究 8三运用反证法的步骤 11四反证法的种类 14五反证法的适用范围 155. 1反证法适用范围及证明 155. 2正确使用反证法 20六英文简介 24七感谢信 25八参考文献 26英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有 力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还 要高明。

象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱 手让予对方！ ”有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可 以轻而易举地解决数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效 时，反证法会助人一臂之力在现代数学中，反证法已成为最常用和 最有效的解决问题的方法之一本文通过一个小故事说明反证法在生活中的普遍性以及由此故事 衍射出反证法的定义，性质和应用在解题中的时的思维方式再接着 用科学的方法具体阐述以上几点，通过图表，分类解说和详尽的例题 例子，全面充分地考察了反证法在数学中的应用然而反证法的作用不止于数学应用和解题研究，它在生活中，在 别的领域中也有I•分广泛的应用，例如“抽屉原理”，“鸽笼原理”， 某些物理，化学研究等等，这就需要我们进一步去研究考察反证法 在初中高中数学学习中有很多运用，乃至大学或更高的学习都会用到 反证法，它不仅是一种解题方法，更是锻炼学生逆向思维的一种手段 反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有 特殊作用数学中的一些重要结论，从最基木的性质、定理，到某些 难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的反证法的概念对反证法的认知，可以从一个小故事谈起：在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是在花园里的一棵大树 下躺下休息而睡着了。

这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前 额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都以为其他两人在取笑，而 没想到自己脸上也被抹黑隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为 他发觉自己的脸上也被涂黑了他是怎样觉察到的呢？实际上，发现 自己脸上被涂黑者，并非直接看到，而是据他观察另外两人的表情进 行分析、思考后，从反面说明自己脸上被涂黑了的，这是一种间接的 证明方法，即反证的方法2.1反证法定义的证明反证法在数学中经常运用当论题从正面不容易或不能得到证明 时，就需要运用反证法有的数学问题不易直接从问题结论的正面去 考虑，这时从问题结论的反面着手却比较容易解决，这种论证方法叫 做间接证法，反证法就是一种间接证法,它从否定结论出发，经过正 确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾 的结果，原因是开始时否定结论所导致，固而原命题的结论是不容否 定的正确结论定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定, 然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原 来的假定而肯定了定理也叫归谬法反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B"(即 A->B)为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B” (apr^B = A*B)为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法。

适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否 定则比较浅显例1如果4是大于1的整数，而所有不大于需的素数都不能整除 a,则a是素数证明：假设a是合数，记a二be (b、c (属于)Z,且b, c >1), 由于a不能被人于1且不人于需的素数整除，所以b> y/a , c> yl~a ,从iflj bc>a,这与假设a二be矛盾，故a 是索数假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这 个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相 矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了 命题的结论一定是止确的，当命题由已知不易直接证明时，改证它的 逆命题的证明方法也叫反证法用框图表示如下：题断反面与临吋假设违背前此定理或与前此定理不容本题题设矛盾的结果为：或与本题题设冲突前此公理或与公理抵触前此定义或自相矛盾 2. 2反证法概念的探究反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和 排中律所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互 相否定的论断，其中至少有一个是假的而所谓“排中律”则是说： 任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。

也就是说结论“P 真”与“非P真”中有且只有一个是正确的反证法与证逆否命题是 不同的：真命题与逆否命题同真假，逆定理与否定理同真假从逻辑角度看，命题“若P则q”的否定,是“P且非q”,由此 进行推理，如果发生矛盾，那么“P且非q”为假，因此可知“若P 则q”为真像这样证明“若p则q”为真的证明方法，叫做反证法 如上所述，用反证法证明命题“若P则q”，是把“P且非作为假 设，利用正确的推理推出矛盾，得出“P且非q”为假，从而得出“若 P则q”为真；而证明命题“若P则q”的逆否命题“若非q则非P ”, 是将非q作为条件，用正确的推理推出非P成立，根据“若P则q” 和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立比较可知，不 论从思路方而还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质 的不同的因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是 非常清楚的了运用反证法证题时常见的矛盾形式用反证法证明命题“若P则吋，可能出现以下三种情况：⑴导出非P为真，即与原命题的条件矛盾；⑵导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；⑶导出一个恒假命题例2求证两条直线如果有公共点，最多只有一个证明：假设它们有两个公共点A, B,这两点直分别是a, b那么A, B都属于a, A, B也都属于b,因为两点决定一条直线，所以a, b重合所以命题不成立，原命题正确，公共点证明：假设在△昇虑内存在一点只使得过P点的任一条直线把的面积分成相等的两部 分。

连接〃、BP、少并分别延长交对边于从E、F (如图)由假设, SAABD=SAADC,于是〃为％的中点，同理代尸分别是力G 肋的 中点，从而戶是的重心过"作％的平行线分别交力〃、应?于 M、N,则,这与假设过P点的任一条直线把的面积分成相等 的两部分矛盾例4已知函数f(x)是单调函数，则方程f (x)=0最多只有一个实数根 证明：假设方程至少有两个根X］, X?且X］不等于X2， 则有 f(xj=f(x2) (X］不等T X2) 这与函数单调的定义显然孑盾，故命题成立例5平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上 任一点不会同时在这六个圆上证明：题意即这六个圆没有共同的交点如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与 每个圆的圆心的线段中，总有两条线段所成的角不超过60o这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆 圆心在对方圆内；否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾例6求证方程22+x=6仅有唯一实根2O证明：假设方程22+x=6有一个非2的实根a o则有2a +a =6，与2二6相减,得2a -2匚2-a o•・• ci H 2,故a > 2或u < 2o当a > 2吋，2a -22>0 ,而2-a < 0 ,相矛盾。

当a < 2时，2a -22<0 ,而2-a > 0 ,也矛盾・••假设方程有一个非2实根是错误的，则原命题成立三.运用反证法的步骤反证法是数学中常用的间接证明方法之一，是从反面的角度思 考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结 论，从而导出矛盾，推理而得反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作 用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和 创造性思维有着重大的意义反证法不仅可以单独使用，也可以与其 他方法结合使用，并且可以在论证一道命题中多次使用，只要我们止 确熟练运用，就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨, 提高数学解题能力.例1求证：素数有无穷多个证明：假设素数只有n个：P】、P2……Pn,取整数 N二PrD……Pn+1,显然N不能被这儿个数中的任何一个整除因此, 或者N本身就是素数（显然N不等于“Pl、P2、……Pn中任何一个）, 或者N含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假 定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的从以上例题可以归纳出：反证法步骤（1） 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立;（2） 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾一 —与已知条件、已知的公理、定理、定义、反设及明显的事实矛盾 或自相矛盾；（3） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬 误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

例2求证：大于1的任何整数一定有质因数证明：反设：假设至少有一个大于1的整数刃没有质因数,即n大于1且不是质数（因为质数本身是质因数），贝％必为合数归谬：料必有一个不等于”的真因数,故n人于nl, n2,这里勺也必不是质数（否则，〃有质因数）；同理，佝也有。