π无穷无尽的歌谣.pdf

1 一无穷无尽的歌谣学海搜奇金字塔与在埃及首都开罗西南的吉萨郊外，在尼罗河西岸一望无垠的沙漠上，耸立着名列世界七大奇观之首的埃及金字塔那是古代埃及法老王的陵墓，它是一座由四个等边三角形组成的四棱锥体形建筑，它以巨大的体积和奇异的风格闻名于世现在保存最大最完整的金字塔，是古埃及第四王朝法老胡夫的陵墓图 1 埃及金字塔然而，就是这座建造于公元前2600 年左右的胡夫金字塔，竟隐藏着一系列神秘的数字其中，金字塔的高度为146．73 m ，它的塔底每边长230．4 m ，塔底是正方形于是，我们用金字塔底的周长除以高度的2 倍，结果为3．14，即14.3 73.14624.2304而 3． 14 是一个令人感到神秘的数字,, 它出现在4500 多年前就更让人感到不能简单地用“巧合”来解释让我们回忆一下，我们很小的时候，就知道生活中离不开一种叫“圆”的图形，它是既最简单又最美丽的几何图形稍大些的时候，我们又牢记着这样的公式：rc2、2rs，这里 c 代表圆周长， r 代表圆半径， s 代表圆面积一个传奇的常数把圆的周长、面积和半径紧密联系在一起，我们把这个常数叫做“圆周率” ，它是圆的周长与直径之比。

为什么会用符号表示“圆周率”呢?那是在 1600 年，英国的威廉·奥托兰认为，是希腊文“圆周”的第一个字母，可用来代表圆周长；而是希腊文“直径”的第一个字母，可用来代表直径，根据圆周率的定义，于是他首先使用／表示圆周率但在推算圆周率的过程中，人们常用直径为l 的圆，即令=l ，这样／就等于了 1706 年，英国的琼斯率先改用表示“圆周率” ，1737 年欧拉在他的著作中使用作为圆周率，后来被数学家广泛接受，并一直沿用至今事实上，圆周率是一个无穷的不循环小数，3．14 为它的近似值这就难怪金字塔为什么会让人们那样迷惑不解了如果从古埃及算起人类探求的历史至少也有了4 000 多年的确，数千年来，不知有多少古今中外一代一代的数学家绞尽脑汁，为此献出了自己的智慧和劳动，探讨各种方法来计算值德国数学家康托曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折2 的道路， 它的历史是饶有趣味的，也诞生了很多可歌可泣的动人故事现在就让我们走进的世界超级链接实验时期通过实验对π 值进行估算， 这是计算π 的的第一阶段 这种对π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

在古代世界，实际上长期使用π ＝3 这个数值 最早见于文字记载的有“兰德草卷” 上的; 基督教《圣经》中记载的，为了测量所罗门修建一个圆形容器，使用的的数值是3, 这一段描述的事大约发生在公元前950 年前后一、 “兰德草卷”上的很久以前，人们测定值常凭直观推测或实物度量而得，圆周率值也只是近似值那么值到底是多少呢? 1858年一位苏格兰古董商兰德偶然发现了古埃及一卷草纸，人们称为“兰德草卷” “兰德草卷” 大约产生于公元前1650 年，是现存世界上最古老的数学书，它记载有85 个数学问题，其中就有的值根据其记载，圆面积的算法为直径减去它的1／9，然后加以平方，按照这个方式计算，则圆周率大约是3． 160 49 有人推测在公元前若干个世纪，就已经使用=3 的圆周率了， 在古印度时期， 使用的值常常引用复杂的式子表示，如0883.3)12(31142此值也是约略为3古代巴比伦人计算出为 713在我国刘徽之前“圆径一而周三 “ 曾广泛流传 我国第一部 《周髀算经》 中，就记载有圆“ 周三径一 “ 这一结论在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“ 周三径一，方五斜七 “，意思是说，直径为1 的圆，周长大约是3，边长为5 的正方形，对角线之长约为 7。

这正反映了早期人们对圆周率π 和2 这两个无理数的粗略估计东汉时期官方还明文规定圆周率取3 为计算面积的标准后人称之为“古率 “早期的人们还使用了其它的粗糙方法如古埃及、 古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值,, 由此，得到圆周率的稍好些的值在印度，公元前六世纪，曾取π= 10 = 3.162在我国东、西汉之交， 新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值为此， 他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547 ，3.1992 ， 3.1498 ，3.2031 比径一周三的古率已有所进步此后， 东汉张衡 ( 公元 78～139 年) 有意识地非常认真去寻求值，通过3 球体积计算，甚至专门做了一个金球来考查有关数据，推导出=10=3．162 2 ，称“衡率” 很可惜， 他所依据的当时关于球与其外切圆柱体、外切立方体诸体积之比的理论本身有错误，使其结论反不如“歆率”精确可见在科学研究中，理论依据是何等重要! 人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

几何法时期凭直观推测或实物度量，来计算π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的二、计算 π 的第一次科学尝试真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把π 的值精确到任意精度的方法由此，开创了圆周率计算的第二阶段图 3 圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此22＜π＜ 4 公元前 240 年，古希腊的天才数学家阿基米德在《圆的量度》书中，第一次用上、下界来确定π 的近似值， 他用几何方法证明了圆周长与圆直径之比在 7110 3至 71 3之间， 他还提供了误差的估计重要的是， 这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值数学史上认为， 这是计算的第一次科学尝试 到公元 150 年左右，希腊天文学家托勒密得出π＝3.1416 ，取得了自阿基米德以来的巨大进步三、古代中国的“割圆术”4 图 4 割圆术，不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长三国时代的刘徽( 约 225～ 295 年) 是我国历史上最杰出的数学家之一，他在世界数学史上也处于光辉的地位他首次运用在圆内作正多边形的方法对圆周率进行了科学计算，创立了驰名古今中外的“割圆术”，开创了我国数学史上研究圆周率的新纪元．割圆——就是在圆周上截取等分点，得圆内接正多边形，它的面积小于圆面积，并依次倍增正多边形边数，从而使其面积逐步增加，边数越多， 其面积就越接近于圆面积，只要这种分割无限地进行下去，就可以求得圆面积值，这就是 “割圆术”。

虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界， 比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多另外， 有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192 边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4 位有效数字的圆周率 12503927＝ 3.1416, 后人称之为“徽率” 而这一结果， 正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到 3072边形 这种精加工方法的效果是奇妙的这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了四、永远的祖冲之南北朝时期的祖冲之(429 ～ 500 年) ，我国南北朝时杰出的数学家、天文学家和机械发明家他从小聪明好学，爱好自然科学、文学和哲学，经过刻苦的学习钻研，终于成为一位享誉世界的科学家他卓越的数学成就为全世界所赞扬和推崇据《隋书·律历志》记载，祖冲之关于圆周率有两大贡献其一是祖冲之采用“割圆术”，画了一个直径一丈的圆，并从正六边形、正十二边形开始，一直用针尖画出了正24 576(即 6×122)边形，经反复计算，得到3．141 592 6a，这些半圆弧曲线怎么会变成一条直线呢?! 提示：事实上， 当线段 AB被越来越多地等份而作越来越多的半圆时，这条曲线的 “曲折”也越来越多，这是一条“曲折”越来越多的曲线，它的长度永远是 2a。

因此，我们不能认为“曲折”越来越多的曲线是直线，也不能认为它几乎变成了直线可见， 虽然直观和想象都很重要，但是， 要在直观和想象的基础上做出正确的结论就必须寻求理论证明，否则，我们就会得出并不可靠的结论，甚至是错误的结论。