初中数学阿氏圆题目关于一道求最值问题引发探讨.docx

一道求最值题目引发的探究如图，在bABC中，BC = 4, AB = 2ACf则aMC的面积的最大值为 这道题目乍一看，应该不是很难，求三角形的面积，有多种方法, 可以用底X高F2,也可以用海伦公式(已知三角形三边a,b,c,贝ij(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b・c)(a+c・b)(b+c・a)]=1 /4sqrt[(a+b+c) (a+b-c) (a+c-b)(b+c-a)]),还可以用三角函数法求解(已知三角形两边比b,这两边夹角C,贝91.S=2 absinC,即两夹边之积乘夹角的正弦值)这些都是代数方法，而数学往 往是数形结合求解，尤其是在几何题目里那如何用代数法求解呢？ 直接套用求面积最基本的公式好像不是那么容易就能解决，因为高不 知道是多少代数法：(方法一，海伦公式)假设AC二X,则AB=2AC=2X,由海伦公式得:c 3x + 4 /3x + 4 、z3x + 4 .、z3x + 4 八Swc 二｛二—x(二一・x)x( —_2x)x(——_4)_ J—9x4 + 160?_256~ 4根据三角形三边关系可以得到:兀+ 2兀>4得出亠兀<4x + 4> 2x 3令 t=x2,则-<^<16,9所以c 3x + 4 /3x + 4 、z3x + 4 、z3x + 4 八Swc=t^—x( —■x)x(——_2x) x (——_4)_ 丁-9/ + 16肿一256- 4=7-9/2+ 160-256- 4当t为对称轴时，一晶/3x + 4 ,3x + 4 、」x + 4 小、3x + 4 ..W—・x)x( —_2x)x( —_4)J—9疋+160?—2564J-9八+160 —256416T（方法二、三角函数求解）由 已知1 条件知1, S^bc = — x2xxxxsin A = x2 sin A = x271-cos2 AcosA =(2x)2 + x2 -422x2xxx5x2-164x2所以S we = —x2xxxxsin A2=x2 sin A = x2a/1-cos2 A_ J・9/ + i6(k2-256 4剩下的步骤和方法一样了。

这两种方法都是把几何问题转化成为了代数问题那如果用几何方法来解决的话怎么处理呢？几何法：（构建相似三角形） 在 AB 上取点 D,使得 AC=2AD,贝I」AC:AD=AB:AC=2:1,XZA 是公共角，AADC -AACB ,则 CD:BC=1:2,所以 CD=2,又因为 2AD二AC,BCD ■= 3:4AB=2AC,所以 AD=1/4AB,所以而只有当CD丄BC吋，ABCD的面积最大，此吋AABC的面积最大如图AB=2X, AC=X, BC=4,CD=2, BD=^X,当 CD丄BC 时在直角三角形 BCD 里，由勾股定理求得，x2=80/9,BCD对比这三种方法，前面两种方法是把几何问题转化成为了代数问 题，使得在求解过程中不需要考虑图形了，而最后面这种构建相似三 角形的方法，通过作图和计算求岀面积最大值，数形结合思想发挥了 很大的作用写于2018.8.8号。